ATPS Calculo Numerico

livro-texto (FRANCO, Neide M. B. Cálculo Numérico. 1ª

ed. São Paulo: Pearson – Prentice Hall, 2007) quePara que o trinˆomio seja sempre  0 ´e necess´ario que
 0. Assim:

= 4(x, y)2 − 4(x, x)(y, y)  0,

) (x, y)2  (x, x)(y, y).

Mostremos agora que a igualdade ´e v´alida se e somente se x e y s˜ao linearmente dependentes. Seja

x =  y. Ent˜ao:

(x, y)2 = (y, y)2 = [(y, y)]2 = 2(y, y)2

= 2(y, y)(y, y) = (y, y)(y, y) = (x, x)(y, y).

Isto ´e, x e y linearmente dependentes =) (x, y)2 = (x, x)(y, y).

Suponhamos, agora que a igualdade seja v´alida em (1.13). O caso y =  ´e trivial. Suponhamos y 6= .

Temos que (x, y)2 = (x, x)(y, y) ´e equivalente a:

(x +  y, x +  y) = 0 com  = −

(x, y)

(y, y) .

Assim, de P4, conclu´ımos que x +  y = 0. Ou seja x = (x, y)

(y, y) y, e isto quer dizer que x e y s˜ao

linearmente dependentes.

Exerc´ıcios

1.6 - Em rela¸c˜ao ao produto escalar usual do IR3, calcule (x, y) nos seguintes casos:

a) x = (1/2, 2, 1)t , y = (4, 1, −3)t;

b) x = (2, 1, 0)t , y = (4, 0, 2)t;

1.7 - Determinar (f, g) =

R 1

0 f(t)g(t)dt para cada um dos seguintes pares de vetores de K2(t).

a) f(t) = t , g(t) = 1 − t2;

b) f(t) = t − 1

2, g(t) = 12

−



t − 12 

;

1.8 - Sejam x = (x1, x2)t e y = (y1, y2)t dois vetores quaisquer do IR2. Mostre que:

(x, y) = x1x2

a2 + y1y2

b2 ,

com a, b 2 IR fixos e n˜ao nulos define um produto escalar sobre o IR2.

1.9 - Considere no espa¸co vetorial IR2 o produto escalar dado por: (x, y) = x1y1 + 2x2y2, para todo

par de vetores x = (x1, x2)t e y = (y1, y2)t. Verificar se x e y s˜ao ortogonais em rela¸c˜ao a esse produto

escalar nos seguintes casos:

a) x = (1, 1)t e y = (2, −1)t;

b) x = (2, 1)t e y = (−1, 1)t;

b) x = (3, 2)t e y = (2, −1)t;

CAP´ITULO 1. CONCEITOS B´ ASICOS 10

1.10 - Determine m de modo que sejam ortogonais os vetores x = (m + 1, 2)t e y = (−1, 4)t em

rela¸c˜ao ao produto escalar usual do IR2.

1.11 - Determinar f(x) 2 K2(x) que seja ortogonal a g(x) = 1 e h(x) = t, em rela¸c˜ao ao produto

escalar dado por:

(f, g) =

Z 1

−1

f(x) g(x) dx .

1.12 - Considere no IR3 o produto escalar usual. Determine m 2 IR de tal modo que os vetores

u = (1, m + 1, m)t , v = (m − 1, m, m + 1)t, sejam ortogonais.

1.13 - Sejam f(x) = x, g(x) = mx2 − 1 e considere o produto escalar usual em C[0, 1]. Determine o

valor de m, para que f(x) e g(x) sejam ortogonais.

Espa¸co Vetorial Normado

Vamos definir agora importantes defini¸c˜oes de norma de vetor e de matriz. Com isso estaremos aptos

a definir, quando oportuno, as no¸c˜oes de limite de uma sequˆencia de vetores ou de matrizes, de grande

utilidade, entre outros, no estudo de convergˆencia de m´etodos iterativos de solu¸c˜ao de sistemas lineares

e do problema de erros de arredondamento nos processos de c´alculo onde intervˆem matrizes ou vetores.

Norma de Vetor

Defini¸c˜ao 1.7 - Chama-se norma de um vetor x, em s´ımbolo, k x k, qualquer fun¸c˜ao definida num

espa¸co vetorial E, com valores em IR , satisfazendo as seguintes condi¸c˜oes:

N1) k x k  0 e k x k = 0 se e somente se x =  ,

N2) k  x k = || k x k para todo escalar 

N3) k x + y k  k x k + k y k (desigualdade triangular).

Um espa¸co vetorial E, onde est´a definida uma norma ´e chamado espa¸co vetorial normado.

Daremos a seguir alguns exemplos de norma no IRn.

Exemplo 1.8 - Seja E = IRn, e seja x = (x1, x2, . . . , xn)t. Mostrar que, definindo:

k x kE =

vuut

Xn

i=1

x2i

, (1.14)