O Cálculo Funções de Várias Variáveis Avaliação

Avaliação 1 – Cálculo 2

Funções de várias variáveis: algumas aplicações

Ao longo das unidades 1 e 2 discutimos algumas possíveis aplicações das funções de várias variáveis. Nas questões abaixo teremos uma noção geral de como tais funções e o conhecimento adquirido até agora podem ser utilizados em algumas áreas do conhecimento.

1ª Questão: A temperatura T de uma localidade do Hemisfério Norte depende da longitude x, da latitude y e do tempo t, de modo que podemos escrever T=f(x,y,t). O tempo é medido em horas a partir do princípio de janeiro.

Qual o significado das derivadas parciais ∂T/∂x , ∂T/∂y e ∂T/∂t?

Resposta:

Sendo x a longitude:

∂T/∂x representa a taxa com que a temperatura varia quando um ponto se desloca na direção da longitude. A taxa de variação pode ser diferente para cada ponto da superfície, mas sempre vai representar a variação da temperatura quando se desloca na direção x.

Sendo y a latitude:

∂T/∂y representa a taxa com que a temperatura varia quando um ponto se desloca na direção da latitude. A taxa de variação pode ser diferente para cada ponto da superfície, mas sempre vai representar a variação da temperatura quando se desloca na direção y.

Sendo t o tempo:

∂T/∂t representa a taxa com que a temperatura varia quando um ponto da superfície permanece parado, mas o tempo passa e, portanto, a temperatura desse ponto varia. A taxa de variação pode ser diferente para cada ponto da superfície, mas sempre vai representar a taxa de variação da temperatura desse ponto quando o tempo passa.

Honolulu tem longitude de 158º W e latitude de 21º N. Suponha que às 9 horas em 1º de janeiro esteja ventando do noroeste uma brisa quente, de forma que a oeste e a sul o ar esteja quente e a norte e leste o ar esteja frio. Você esperaria fx(158,21,9), fy(158,21,9) e ft(158,21,9) serem positivos ou negativos? Explique. (Atenção para o fato das longitudes serem contadas a partir do meridiano central, sendo positivas para leste (E) e negativas para oeste (W)).

Resposta:

∂T/∂x > 0, porque quando ∂x é positivo, a temperatura aumenta, ou seja, aponta do frio para o quente e ∂T é positivo.

∂T/∂y < 0, porque quando ∂y é negativo, a temperatura aumenta, ou seja, aponta do frio para o quente e ∂T é positivo.

∂T/∂t > 0, porque quando o tempo passa, ∂t é positivo e o horário se aproxima de meio dia, que é quando a radiação solar atinge a Terra com mais intensidade e a temperatura aumenta, ∂T é positivo.

2ª Questão: Suponha que em uma certa região do espaço o potencial elétrico seja V seja dado por 𝑉(𝑥,𝑦,𝑧)=5𝑥2−3𝑥𝑦+𝑥𝑦𝑧.

(a) Qual o domínio da função V?

Resposta:

Não existe restrição algébrica com relação às coordenadas x,y,z na expressão do potencial elétrico.

V(x,y,z) = 5x²– 3xy + xyz

Portanto o domínio é : D = {(x,y,z,) ∈ R³}

(b) Determine a taxa de variação do potencial em P(3,4,5) na direção do vetor 𝒊̂+ 𝒋̂+𝒌̂.

Resposta:

Calculando as derivadas parciais do potencial

∂V/∂x = 10x – 3y + yz

∂V/∂y = -3x + xz

∂V/∂z = xy

Substituindo as coordenadas do ponto P(3,4,5):

∂V/∂x = 10 . 3 – 3 . 4 + 4 . 5 = 38

∂V/∂y = -3 . 3 + 3 . 5 = 6

∂V/∂z = 3 . 5 = 15

Portanto temos o gradiente de V no ponto P:

∇V = (38,6,15)

Versor na direção do vetor î + j ̂ + k ̂

v ⃗ = î + j ̂ + k ̂

v ⃗ = (î + j ̂ + k ̂), 1√(1² + 1² + 1²) = î/√3 + j ̂/√3 + k ̂/√3

v ⃗ = (1/√3 + 1/√3 + 1/√3)

Calculando o produto escalar: