O conceito de derivado

O conceito de derivada está diretamente relacionado à taxa de variação instantânea de uma função, o qual está presente no cotidiano das pessoas, através, por exemplo, da determinação da taxa de crescimento de certa população, da taxa de crescimento econômico do país, da taxa de redução da mortalidade infantil, da taxa de variação de temperaturas, da velocidade de corpos ou objetos em movimento, enfim, poderíamos ilustrar inúmeros exemplos que apresentam uma função variando e que a medida desta variação se faz necessária em um determinado momento.

Ao estudarmos o problema de determinar máximos e mínimos globais para funções contínuas definidas em intervalos fechados. Percebemos que o teorema dos valores extremos para funções contínuas garante, para estas funções, a existência de extremos globais, e como tais extremos só podem o correr nos pontos críticos da função ou nas extremidades do intervalo onde esta função está definida, o critério empregado foi o de comparar os valores da função f calculados nos extremos do intervalo com os valores de f nos seus pontos críticos. No entanto, em vários problemas a função f que descreve a grandeza a ser maximizada é definida em um intervalo aberto (a, b) e até mesmo em um intervalo não limitado, por exemplo, (0,∞). Neste caso, não podemos empregar a técnica descrita acima. Não podemos nem sequer garantir, a priori, a existência de máximos e mínimos globais. O teste da derivada segunda é útil nestes casos. Suponhamos que queiramos maximizar, ou minimizar, uma função derivável f num intervalo aberto I, e constatemos que f tem apenas um ponto crítico em I, isto é, um número c para o qual f′ (c) = 0. Se f′′ (x) tiver o mesmo sinal em todos os pontos de I, o teste da derivada segunda nos diz que o ponto c é um extremo absoluto de f em I. Este extremo será um mínimo se f′′ (c) > 0 e, um máximo se f′′ (c) < 0.

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