O conceito de velocidade instantânea baseia

ETAPA I

Passo 1

Velocidade instantânea

O conceito de velocidade instantânea baseia-se na propriedade do deslocamento onde diferente da velocidade média que tem como base a distância percorrida por um corpo em um período de tempo, onde se determina t1 e t2, portanto, a analogia da velocidade instantânea se dá na relação de um percurso muito curto, assim como o tempo, sendo considerado um instante;

A fórmula da velocidade em relação ao tempo é a seguinte:

[pic 1]

O limite visualizado na função acima determina a derivada do instante em relação ao tempo, ou seja, a velocidade instantânea num dado momento (instante) é a derivada com relação ao tempo da função que descreve a posição do corpo no instante.

Sendo assim aplicando a derivação sobre a equação do espaço em função do tempo, logo obtemos que a velocidade instantânea em determinado instante é expressa por:

[pic 2]

[pic 3]

Com isso comprovamos que a equação da velocidade instantânea é a derivada da função do espaço.

Já na função algébrica que utilizamos no cálculo os fatores modificam em relação do h ser a variação dos dois pontos determinados no plano em função ao eixo x.

Logo podemos dizer que o lim de h(variação de x) determina a derivada algébrica em relação ao progresso dos pontos A e B no plano em função do eixo x, ou seja, o h é a derivada do eixo Y em relação ao x.

Abaixo visualizamos a formula da derivada algébrica:

[pic 4]

Sendo assim concluímos que a derivada algébrica tem como objetivo fornecer informações para resolução da equação da reta tangente e assim conseguir trabalhar os fatores e diminuir o ângulo da secante em relação ao eixo x.

Aplicação:

Ra dos Alunos:

8408126226

8429868454

8416135507

9902001417

Como prova de que a equação da velocidade instantânea é a derivada da equação do espaço, somamos os últimos algarismos dos RAs dos alunos do grupo, obtendo o número 24, que por sua vez será usado como unidade da aceleração.

Aplicando:

V= V0 + a.t

Considerando V0 = 0  obtemos o seguinte resultado:

V= 0 + 24.t

V= 24 t

Agora considerando os mesmos dados, além de determinar S0=0, aplicando o conceito de derivada sobre a função do espaço, chegamos ao seguinte resultado:

[pic 5]

[pic 6]

[pic 7]

[pic 8]

[pic 9]

Com isso fica provado que a função da velocidade instantânea é a derivada da função do espaço.

Passo 2

Gráfico da velocidade instantânea em função do tempo  V(t):

Tempo (s)	Velocidade (m/s²)
0	0
1	24
2	48
3	72
4	96
5	120

[pic 10]

Analisando o gráfico fica claro que temos uma função linear, com uma variação de velocidade de 120 m/s².

Para calcular área formada pela função utilizamos a seguinte fórmula:

[pic 11]

[pic 12]

[pic 13]

[pic 14]

Sendo assim conclui que a área é de 300 m

Gráfico do espaço em função do tempo S(t):

Tempo (t)	Espaço (m)
0	0
1	12
2	48
3	108
4	192
5	300

[pic 15]

No gráfico anterior, temos uma função exponencial, que por sua vez possui uma variação de 300 metros, ou seja, concluímos que o valor da área formada pelo gráfico da função da velocidade instantânea, é o mesmo que a variação de espaço na função anterior.

Passo 3

Aceleração Média

A idéia de aceleração média é definida em relação ao conceito de velocidade. A aceleração média indica a variação de velocidade em função a um espaço de tempo correspondente.

Define-se então que a aceleração média é a razão entre a variação de espaço e a variação do tempo. A aceleração instantânea é definida de forma similar a aceleração média, tendo sua diferença baseada no , ou seja, o intervalo de tempo que por ser tão pequeno, pose-se afirmar que é um instante de tempo. Com isso logo se tem que a aceleração média se torna em aceleração naquele determinado instante.[pic 16]

Derivando a função do espaço duas vezes temos a seguinte expressão:

[pic 17]

[pic 18]

[pic 19]

Com isso fica comprovado que a função da aceleração é a segunda derivada da função do espaço.

Passo 4

tempo	Aceleração
0	24
1	24
2	24
3	24
4	24
5	24

        

[pic 20]

Na função da aceleração temos uma função constante, ou seja, sem variação no valor da mesma, porém aplicando o conceito de calculo de área do plano, obtemos o valor de 120 m/s, que coincide com o valor de variação de velocidade.

Calculando a área:

[pic 21]

[pic 22]