Projeto de um sistema de controle PI E PID pela técnica de análise do lugar das raízes
Por: Eloilton.15 • 5/5/2017 • Trabalho acadêmico • 2.449 Palavras (10 Páginas) • 633 Visualizações
UNIVERSIDADE FEDERAL DO VALE DO SÃO FRANCISCO[pic 1]
CURSO DE ENGENHARIA ELÉTRICA
DISCIPLINA: Controle I
PROFESSOR: Manoel Sobrinho
Projeto de Controladores PI e PID
No Tempo Contínuo
Aluno: Eloilton Oliveira, Filipe de Carvalho
Disciplina: Controle I
Data: 26/07/16
Requisitos do sistema
- Erro de posição nulo
- Sobre sinal menor ou igual a 5%
- Tempo de estabelecimento menor que 10 segundos (ou menor possível)
A função de transferência da planta Gp(s) é a seguinte
[pic 2]
Que é a função de transferência de malha aberta. A função de transferência de malha fechada é determinada através da seguinte função
[pic 3]
De modo que : [pic 4][pic 5]
[pic 6]
Portanto os seus polos são: P1=- 1,206 e P2= - 5,593. Agora a partir dos requisitos do sistema, vamos determinar a posição dos polos de malha fechada do sistema compensado:
[pic 7]
[pic 8]
[pic 9]
=> , faz-se .[pic 10][pic 11]
Utilizando o critério dos 2% para o tempo de estabelecimento, temos que :
[pic 12]
[pic 13]
[pic 14]
Vai ser utilizado Wn=0,6.
[pic 15]
Figura 01: Relações no plano complexo para o polo
- [pic 16]
- .[pic 17]
Os polos dominantes de malha fechada tem a seguinte característica: [pic 18]
[pic 19]
- PROJETO DO CONTROLADOR PI:
O controlador tem a seguinte função de transferência:
[pic 20]
Onde Kc e o ganho do controlador, e ‘’a’’ é a posição do zero. Como se deseja erro de posição nulo o polo do controlador já está definido em s=0. Faltando assim determina o seu zero “a”. Podemos então montar o root locus da multiplicação e analisar onde devemos alocar o zero do controlador
[pic 21]
[pic 22]
Figura 02: Root Locus sem alocar o zero do controlador
Para determinamos a posição do zero do estabilizador utilizou-se a condição de ângulo, de modo que:
- Polo em -2,5: [pic 23]
- Polo em 0:[pic 24]
- Polo em -3,3 :[pic 25]
- Zero em 1,5:[pic 26]
= 180[pic 27][pic 28]
+ 167,4[pic 29][pic 30]
[pic 31]
Agora que o ângulo foi calculado a distância “a” pode ser determinada. Pela análise do root locus da figura 2, percebe-se que o zero do controlador tem que está situado no semi-plano direito de modo a neutralizar o ramo de root locus entre o polo em 0 e o zero em 1,5. É este ramo que deixa o sinal instável. Logo:
[pic 32]
[pic 33]
Explicitando ´´a´´ na equação obtém-se a= 1,449, como era de se esperar.
O valor de Kc é determinado pela condição de módulo, portanto:
[pic 34]
Utilizando o valor dos módulos dos vetores que foram calculados anteriormente, obteve-se Kc= 0,985. Agora se pode determinar o seu root locus e comprovar os cálculos realizados.
[pic 35]
Figura 03: root locus do sistema compensado
[pic 36]
Figura 04: root locus do sistema
Como pode-se ver os cálculos são semelhantes aos dados apresentados pelo root locus do sistema. Utilizando-se o Simulink obteve-se a resposta ao degrau do sistema, o seu comportamento e as suas especificações estão representadas nas figuras abaixo:
[pic 37]
Figura 05: respota do sistema com os cálculos teóricos.
[pic 38]
Figura 06: over shoot do sistema com os cálculos teóricos.
Como pode ser visto na figura, o sistema original não atende as especificações, pois o over shoot é maior que 5%. Analisando o root locus do sistema, os parâmetros como o ganho foram alterados. Obteve-se as condições desejadas com k=0,89, ξ=0,788 e overshoot= 1,79 %. A figura abaixo demonstra estas especificações:
[pic 39]
Figura 07: root locus do sistema
Aplicando-se o novo valor do ganho no circuito simulado do Simulink, obteve-se as seguintes respostas:
[pic 40]
Figura08: resposta ao degrau unitário do sistema com ξ=0,788
[pic 41]
Figura 09: Overshoot do sistema com ξ=0,788.
[pic 42]
Figura 10: tempo de estabelecimento do sistema para ξ=0,788
Percebe-se então após as análises que com ζ=0,788 e Kc=0,89 conseguimos um controlador com sobre sinal menor que 5% e tempo de estabilização de 8,7 segundos, atendendo assim a todos os requisitos. Variando-se o valor de K e consequentemente do coeficiente de amortecimento do sistema, notou-se que era mais apropriado para atender as especificações do sistema, fazer o sistema se estabilizar antes do over shoot. Ou seja, fazendo o over shoot ficar o mais próximo possível, porém, abaixo de 2%. Isso porque quanto menor o valor de ζ, maior o tempo de subida, e de maneira reversa, quanto maior o valor de ζ, menor o tempo de subida. Se o over shoot do sistema fosse maior que os 2%, para o sistema projetado o tempo de acomodação seria bem maior, ele teria que ser obtido bem depois do over shoot e consequentemente seria maior. Então a forma final do Controlador PI ficou da Seguinte maneira:
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