Relatório de Cálculo Numérico

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Combinação de métodos computacionais e matemáticos para a resolução de problemas em circuitos elétricos

Andrew Campos - 111775

Giovanna Gianelli - 92237

Jaqueline Medeiros - 78623

Victor Brasil - 123139

Cálculo Numérico – Prof. Luiz Leduíno

Turma N

Data 26/11/2019

Resumo

Este documento apresenta os dados do projeto “Trabalho Final” desenvolvido na UC Cálculo Numérico ministrada pelo Professor Luiz Leduíno. O projeto tem como objetivo desenvolver o conhecimento de algoritmos de Cálculo Numérico e implementá-los para a resolução de problemas em circuitos elétricos.

Palavras-chave​: Sistemas Lineares. Cálculo Numérico. Programação. Python. Circuitos Elétricos.

1. Introdução

A engenharia elétrica é a profissão responsável pelos sistemas que transmitem, produzem e medem os sinais elétricos. Esta, possibilitou a crescente da tecnologia, que se mostra cada vez maior, sendo aplicada diariamente em nossas tarefas, onde o sistema de computação tem sido o grande aliado para a melhora da qualidade de vida, principalmente pelas técnicas de automatização, que se mostram, muitas vezes, mais eficientes que a humana. Para  que tudo isso seja possível, o engenheiro elétrico necessita de análises em circuitos elétricos. Um circuito elétrico é um modelo matemático que aproxima um sistema elétrico real, assim, com esta ferramenta, o profissional consegue exercer suas atividades com maior eficiência [1].

A base para a análise de circuitos é feita por meio da resolução de sistemas lineares, que são resolvidos através de operações matemáticas de forma simples mas repetitiva, assim, o cálculo númerico se mostra uma solução, pois a partir de seus métodos esta tarefa se torna mais fácil. Estes métodos utiliza de processos computacionais para solução de modelos matemáticos.

2. Fundamentação Teórica

2.1. Sistemas Lineares

        Por definição um sistema linear é um conjunto de duas ou mais equações lineares, sendo uma equação linear descrita da seguinte forma [2]:

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sendo  e b constantes.  são os coeficientes multiplicativos, b é denominado termo independente e  são as incógnitas da equação. [pic 3][pic 4][pic 5]

        Os sistemas lineares podem ser representados matricialmente como uma forma de se obter uma solução [3]. A forma reduzida do sistema é:

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onde A corresponde à matriz que representa os coeficientes, x representa as incógnitas e B a matriz dos termos independentes das equações do sistema.

        Sistemas lineares podem ser classificados como de solução única (SPD), infinitas soluções (SPI) e impossível (SI) de acordo com as possibilidades de se obterem soluções , as quais, estão ligadas diretamente ao determinante da matriz das equações do sistema [2]. Ou seja, com:

• determinante igual a zero () o sistema será indeterminado ou impossível;[pic 7]
• determinante diferente de zero () o sistema terá uma única solução.[pic 8]

2.2. Método de Eliminação de Gauss

        O método de eliminação de Gauss fornece uma solução exata (caso exista) para sistemas lineares e trabalha transformando o sistema linear inicial (na versão matricial) em um sistema equivalente até a solução [4].

        Para a substituição do sistema inicial em um sistema equivalente faz-se operações elementares, como:

• trocas de linhas - ;[pic 9]
• multiplicação de linhas por um escalar - ;[pic 10]
• troca de linha por uma combinação linear com outra linha - , ;[pic 11][pic 12]
• descarte de linhas com zeros somente.

A eliminação de Gauss consiste em duas fases, sendo a fase 1 a eliminação e a fase 2 a resolução do sistema.

Para sistemas muito extensos usa-se o algoritmo deste método para facilitar a obtenção de respostas. Abaixo apresenta-se o algoritmo para resolução de sistemas Ax=b através da Eliminação de Gauss, de acordo com Ruggiero & Lopes (1996, pág. 126):

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                     a     [pic 24]

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Assim, o total de operações para se resolver um sistema linear pelo método de Eliminação de Gauss é .[pic 32]

2.3. Análise de Circuitos Elétricos

Existem muitas formas de realizar a análise em circuitos mas uma que se mostra simples de se visualizar é o método das correntes de malha. Este método possibilita descrever o circuito matematicamente em termos de Re - (Ne - 1) (Re - Ramo essencial e Ne - Nó essencial) equações [1]. Primeiramente, considerando a malha sendo um laço que não possui nenhum laço em seu interior, formando uma trajetória eletricamente fechada, podendo conter diferentes componentes elétricos, além de uma corrente em seu perímetro, chamada de corrente de malha, como mostrado na Figura 1.