Relatório de Eletromecânica Computacional Sobre Método dos Volumes Finitos e Malha Tipo B

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Índice

1.        Introdução        2

2.        Formulação do Problema        2

2.1. Equação Diferencial        2

3.        Método Numérico        3

4.        Descrição do Programa        4

5.        Resultados        5

6.        Conclusões        9

7.        Referências        9

8.        Anexos        10

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1. Introdução

O principal objetivo do presente trabalho é a resolução numérica da equação do calor unidimensional, através do método dos volumes finitos e da malha tipo B (nós centrados), em regime permanente e para condições de fronteira de temperatura imposta, ou seja, condições de fronteira de Dirichlet. Como tal, foi preparado um programa em linguagem FORTRAN, tendo como base um programa fornecido pelo professor (Programa ExemplB.for). O objetivo de trabalhar em FORTRAN é oferecer ao aluno uma melhor familiarização com o programa, e com a matéria ensinada na disciplina de Eletromecânica Computacional, nomeadamente com o método dos volumes finitos.

1. Formulação do Problema

Nesta secção, descreve-se o problema real e a solução analítica, não sendo deduzida a expressão da solução real, devido a falta de conhecimentos. Posto isto, esta foi fornecida pelo docente da disciplina de modo a permitir o cálculo de erros entre a solução numérica e teórica.

2.1. Equação Diferencial

Primeiramente, pretende-se resolver a seguinte equação:

[pic 6]

Temos os seguintes parâmetros:

•  é a condutibilidade térmica;[pic 7]
•  é a temperatura;[pic 8]
•  é a variável temporal;[pic 9]
•  é a única variável espacial que varia entre 0 e L=1.[pic 10]

As condições de fronteira são:

 para ;[pic 11][pic 12]

 para .[pic 13][pic 14]

A equação Diferencial, mencionada anteriormente advém de uma equação de governo, sobre a qual foram assumidas hipóteses, de maneira a simplificar o problema proposto:

• A transmissão de calor é unidimensional;
• Densidade, Calor específico , Condutibilidade térmica , respetivamente 1 para todos;[pic 15][pic 16]
• Termo fonte S=0;
• Esquema temporal Euler implícito (f=1);
• A variável  (comprimento da barra) varia entre 0 e 1;[pic 17]
• Condições iniciais para   são );[pic 18][pic 19]
• Condições fronteira para qualquer  são  e .[pic 20][pic 21][pic 22]

1. Método Numérico

Esta secção descreve o método numérico desenvolvido em computador, possibilitando hoje em dia a resolução de muitos problemas, de forma a aproximar-se da realidade, mesmo para o quais não existe solução analítica.

Fundamentalmente, a ideia base do método numérico consiste na transformação de equações às derivas parciais (equação de governo) em equações algébricas, que posteriormente são resolvidas num número de nós a definir.

Neste problema, é utilizado o método dos volumes finitos para uma malha do tipo B (“nós centrados”). A Figura 1 ilustra a malha tipo B, utilizada neste problema.[pic 23][pic 24]

Inicialmente neste tipo de malhas é referido o número de volumes de controlo inicialmente, de seguida, são definidos os principais nós dentro do volume de controlo. Nestes volumes de controlo irá existir dois nós que se encontram sobre as fronteiras (extremidades) da malha e como tal o número total de volumes de controlo é N-2.

O tratamento da malha será o seguinte, o nó central será denominado “P” (‘point’), o nó à esquerda de “W” (‘west’) e o nó da direita de “E” (‘east’). Sendo o nó central afetado pelas condições à sua esquerda e à direita, e ainda pela dimensão temporal. Tendo sempre em cautela, as condições de fronteira dadas.

Ignorando a dimensão temporal, é criado um sistema tridiagonal de equações lineares (com  equações e  incógnitas). Sendo usado um algoritmo TDMA (algoritmo para matrizes tridiagonais) para obtenção de uma solução numérica simplificada.[pic 25][pic 26]

1. Descrição do Programa

Em Anexo é dado o código do programa desenvolvido pelo grupo para a resolução do problema em causa, com o nome “Problema 2, Código FORTRAN”.  O programa desenvolvido refere-se ao problema proposto inicialmente, e foi baseado na utilização de uma malha do tipo B (“nós centrados”).

De seguida vamos analisar o código do programa “Problema 2, Código FORTRAN”. As variáveis relevantes do problema são determinadas prontamente no início do programa: comprimento da barra L (denodado de XTOT); temperaturas impostas nas extremidades  (no programa são PHI1 e PHIN; condutibilidade térmica (denotado de AK no programa) e por último o termo fonte (S no programa). Os parâmetros anteriormente referidos correspondem aos dados de entrada (“input”) do programa, que podem ser alterados pelo utilizador facilmente. O número total de nós da malha (no programa é NX) é lido no ecrã, de modo a facilitar o processo de estudo do refinamento da malha. Sendo ainda lido no ecrã os valores NX (Número de avanços no tempo) e TFINAL (tempo final imposto), sendo assim possível o cálculo de DT (DT=TFINAL/NT).[pic 27]

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