TRABALHO COMPUTACIONAL: DISCRETIZAÇÃO

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GOVERNO DO ESTADO DE MATO GROSSO SECRETARIA DE ESTADO DE CIÊNCIA E TECNOLOGIA UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSO CAMPUS UNIVERSITÁRIO DE TANGARÁ DA SERRA FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS CURSO DE ENGENHARIA CIVIL

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TRABALHO COMPUTACIONAL: DISCRETIZAÇÃO

TANGARÁ DA SERRA – MT

2017

LEONARDO DO AMARAL NUNES

TRABALHO COMPUTACIONAL: DISCRETIZAÇÃO

Trabalho apresentado no 8ºsemestre do Curso de Bacharelado em Engenharia Civil da Universidade do Estado de Mato Grosso – Campus Universitário de Tangará da Serra, como requisito Avaliativo, da disciplina de Introdução ao Método de Elementos Finitos sob a orientação da Prof. Dr. Rene Quispe Rodriguez

TANGARÁ DE SERRA – MT

2017

1.INTRODUÇÃO

A circunferência é um conjunto de pontos que estão a uma mesma distância do centro. Essa distância é conhecida como raio. A circunferência é estudada pela Geometria Analítica e, em geral, em um plano cartesiano. O círculo, que é formado pela circunferência e pelos infinitos pontos que preenchem seu interior, é estudado pela Geometria Plana, pois ele ocupa um espaço e pode ter sua área calculada, diferentemente da circunferência.

O MATLAB é um software de computação numérica de análise e visualização de dados. Embora seu nome signifique Laboratório de Matrizes, seus propósitos atualmente são bem mais amplos. Assim o MATLAB é uma ferramenta e uma linguagem de programação de alto nível, e tem como principais funções: construção de gráficos e compilação de funções, manipulação de funções específicas de cálculo e variáveis simbólicas.

Este trabalho consiste numa análise de convergência da área ao número de elementos. Com a circunferência como base, dividido em triangulos. Para realizar as funções foi utilizado o software matemático MatLab, para atingir os resultados, serão apresentados o memorial de cálculo e as funções para realizar o roteiro da programação do MATLAB. Com uma programação que determine os valores que com erro de menor que 1% de área.

2. DESENVOLVIMENTO

A área do círculo é aproximada pelo somatório das áreas de triângulos inscritos. Quando definidos os elementos pode calcular a área de cada um e realizar a somatória dos mesmos, e que corresponde aproximação da área real, mas também que está sempre coexistirá com um erro que pode ser demostrado em gráficos, que será demostrado utilizando o software MATLAB.

Sabendo que a área do círculo “Ac’’ é definida pela equação:

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Que o raio (r) corresponde a distância entre o centro (C) e a extremidade do círculo. Determinando a área do círculo correspondente com a área dos elementos inscrito, podemos analisar a função que possa fazer essa comparação.

 

                     Figura 1- Circunferência                                          Figura 2-Elementos inscritos dentro do circulo

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A Figura 2 representa um elemento dos “e” elementos que podem ser inscritos na circunferência, sabendo que o mesmo possui um arco de 360°. A função desenvolvida para o cálculo, faz uma relação trigonométrica para corresponder a área do elemento utilizado no modelo de discretização, conforme a figura 3.[pic 11]

Figura 3- Relação do Elemento

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        Fazendo uma relação trigonometrica com todas as incognitas,  temos: [pic 13]

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        Sabendo que a área do triangulo da figura 3 é:

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        Susbtuindo;

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        Conforme a função geral:

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Lembrando quantos elementos “e” será necessário para o erro ser inferior a 1%. Ou seja:

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Aplicando o roteiro de cálculo no MATLAB com os comandos estabelecidos, sabendo que a restrição tem que ter um número mínimo de elementos “e” ≥ 3.

r=input('Digite o valor do Raio = ');

a=input('Digite a quantidade de elementos inicial = ');

b=input('Digite a quantidade de elementos final = ');

e=input('Digite o numero de elementos = ');

if e>=3

x=linspace(a,b,e);

At = sin(pi./x).*cos(pi./x).*x*r^2

Ac = ones (1,e)*pi*r^2

Erro= (Ac-At)./Ac.*100

subplot(2,1,1)

plot(x,At,'bs--',x,Ac,'rv-')

grid on;

title('Área')

xlabel('nº de elementos')

ylabel('Área')

legend('Elementos','Circunferência')

subplot(2,1,2)

plot(x,Erro,'*b-')

grid on;

title('Erros')

xlabel('nº de elementos')

ylabel('Erros das Áreas %')

legend('Erros dos Elementos')

else

while e<3

disp('Erro. Digite o valor maior ou igual a 3.')

e=input('Digite o numero de elementos = ');

if e<3;

break

end

if e>=3