Trabalho Aritmedica

Teorema de Nyquist − Teorema da Amostragem

Em um canal livre de ruídos, a única limitação imposta à taxa de transmissão de dados será devida à largura de banda do canal.

A formulação para esta limitação é devida à Nyquist e estabelece que, dada uma largura de banda B, a maior taxa de sinal que poderá ser suportada por esta largura de banda será 2B.

• Em um sinal binário, a taxa de dados que pode ser suportada por B Hz será 2B bps.

• Um canal de voz de BW igual a 3100 Hz está sendo utilizado via MODEM para transmitir dados digitais. A capacidade do canal será, então, igual a 2B=6200 bps.

• O Teorema de Nyquist é de extrema importância no desenvolvimento de codificadores de sinais analógicos → digitais porque estabelece o critério adequado para a amostragem dos sinais.

• Nyquist provou que, se um sinal arbitrário é transmitido através de um canal de largura de banda B Hz, o sinal resultante da filtragem poderá ser completamente reconstruído pelo receptor através da amostragem do sinal transmitido, a uma freqüência igual a, no mínimo 2B vezes por segundo.

• Esta freqüência, denominada Freqüência de Nyquist, é a freqüência de amostragem requerida para a reconstrução adequada do sinal.

• Para o caso de sinais que utilizam mais do que dois níveis (blocos de bits, ao invés de apenas os 2 níveis, nível 0 ou nível 1), a formulação de Nyquist se torna C = 2B log2 M

onde M é o número de níveis utilizados para representar o sinal e log 2 M = 1 baud .

Esta é a fórmula de Nyquist para a capacidade máxima de um canal dada a sua largura de banda, na ausência de ruído.

• Em outras palavras, através de um canal de largura de banda igual a B Hz pode-se transmitir um sinal digital de, no máximo 2B bauds.

Se M=2 → log 2 M = 1 bit = 1 baud → C = 2B = 6200 bps

Se M=8 → log 2 M = 3 bits = 1 baud → C = 6B = 18600 bps

Se M=16 → log 2 M = 4 bits = 1 baud → C = 8B = 24800 bps ...

• Portanto, para uma dada BW, a taxa de dados poderá ser aumentada através do aumento do no de níveis utilizados para transportar o sinal.

• No entanto, quanto maior M, maior a dificuldade encontrada pelo receptor para distinguir entre os M possíveis sinais transmitidos.

• A formulação de Nyquist define a taxa de transmisssão máxima para um canal de banda passante limitada e imune a ruídos.

• No entanto, muitas distorções podem ocorrer durante a transmissão de um sinal por meio físico devido a fatores como atenuação, ruídos, etc.

• Claude Shannon estendeu os resultados de Nyquist para o caso de um canal sujeito a ruído térmico

c. Nyquist publicou seus resultados no artigo “Certain topics in Telegraph Transmission Theory (1928)”. Esta regra é agora conhecida como o Teorema da amostragem de Nyquist.

Em particular Nyquist desenvolveu um critério para a recepção correta de sinais telegráficos transmitidos em canais dispersivos na ausência de ruído. Grande parte do trabalho de Nyquist foi aplicado, posteriormente, na transmissão digital de dados em canais dispersivos.

2. MÁXIMA CAPACIDADE DE UM CANAL

A máxima capacidade de um canal de transmissão de dados é a velocidade máxima do sinal de transmissão que pode passar através deste canal. A unidade desta medida é o bps (bit por segundo), e os teoremas básicos para encontrar esta velocidade máxima do sinal são o Teorema de Nyquist e o Teorema de Shannon.

A capacidade de um canal está diretamente relacionada com a sua largura de banda, mas depende de outros fatores, em especial do ruído presente e dos métodos de codificação usados.

3. AMOSTRAGEM

As amostras de um sinal nem sempre determinam de maneira única o sinal de tempo contínuo correspondente. Por exemplo, se amostrarmos uma senóide com intervalos de um período, o sinal amostrado terá a aparência de uma constante e não poderemos determinar se o sinal original era um constante ou a senóide. A Fig. 01, ilustra este problema descrevendo dois diferentes sinais de tempo contínuo que têm o mesmo conjunto de amostras.

Fig. 01- Dois sinais de tempo contínuo que têm o mesmo número de amostras

As amostras não nos dizem nada a respeito do comportamento do sinal entre os tempos de amostras. Para determinar como o sinal se comporta entre as amostras, devemos especificar restrições adicionais para o sinal de tempo contínuo. Um desses conjuntos de restrições que é muito útil na prática envolve exigir que o sinal faça transições suaves de uma amostra para outra. A suavidade, ou a taxa com a qual o sinal no domínio de tempo muda, está diretamente relacionada com a freqüência máxima presente no sinal. Conseqüentemente, restringir a suavidade no domínio de tempo corresponde a limitar a largura de faixa do sinal.

4. TEOREMA DA AMOSTRAGEM DE NYQUIST

Em 1924, Nyquist publicou uma equação determinando a máxima capacidade de um canal desconsiderando a existência do ruído. A equação é a seguinte:

MCn = 2*B*log2N

• MCn=Máxima capacidade do canal por Nyquist

• B: largura de banda, medida em Hz;

• N= número de níveis do sinal

O valor de log2N pode ser encarado como a modulação multinível utilizada, pois se N é o

número de níveis, log2N é a modulação multinível. Por exemplo, para um dibit, 2 bits por baud,

N=4 (4 níveis: 00, 01, 10 e 11). log24=> log222 => 2*log22 => 2*1 => 2, ou seja, a própria modulação multinível.

Fig. 02 – Exemplo de modulação multinível

Assim, para facilitar a fórmula, pode-se representar que:

MCn=2*B*Mmn

Mmn: modulação