Trabalho de Cálculo Numérico para a resolução de Sistema Não Linear pelo método de Newton
Por: Vanessa Natal • 8/11/2015 • Trabalho acadêmico • 729 Palavras (3 Páginas) • 451 Visualizações
Trabalho de Cálculo Numérico para a resolução de Sistema Não Linear pelo método de Newton
Este trabalho tem por objetivo o cálculo de um sistema não linear pelo método de Newton com o auxilio do software R, para que assim possamos consolidar na prática computacional o que foi aprendido em sala de aula.
- Introdução
A solução de um sistema não linear consiste em determinar pontos no subespaço do problema que solucione o conjunto de equações. Os pontos de solução estão na intersecção das curvas que representam as equações. Na solução de sistemas lineares sabe-se que tem-se apenas três tipos de solução: solução única, infinitas soluções e não existe solução. No caso de sistemas não lineares a leque de respostas é maior, no qual se pode ter de zero a infinitas soluções. Neste trabalho será dado uma equação não linear que será solucionada pelo método de Newton.
- Método de Newton
O Método de Newton é um método básico que consiste na linearização local do sistema não linear.
[pic 1][pic 2][pic 3]
- Seja a aproximação . Para qualquer existe tal que:
[pic 4]
Aproximando, temos um modelo local linear
[pic 5]
[pic 6][pic 7]
O modelo local linear do sistema não-linear é
[pic 8]
Seja , então[pic 9]
[pic 10][pic 11][pic 12]
Passo 1: Dado , calcule e
[pic 13]
Passo 2: Resolve-se o sistema linear .
Neste ponto técnicas de fatoração, pivotamento e métodos iterativos podem ser utilizadas
para determinar .[pic 14]
- Resolvendo cálculo pelo método de Newton:
Resolver o sistema não linear por Newton: , [pic 15]
e [pic 16][pic 17]
Plotando o gráfico da função citada temos:
[pic 18]
Figura 1 – Gráfico da função solicitada (Winplot)
Ou seja, teremos duas soluções para a função já que os gráficos se interceptam duas vezes.
- Calculando por Newton:
Derivando a função f(x): -> [pic 19]
1° Iteração:
J(x) * Sk = -F(X0)
* = -F(X0)[pic 20][pic 21]
F(X0) = [pic 22]
F(X0) = [pic 23]
* = -[pic 24][pic 25][pic 26]
[pic 27]
S1 = 0,5-S2
0,5-S2-0,5S2= 0,25
S2=(0,167) S1 = (0,33)
[pic 28]
[pic 29]
Critério de Parada:
D1 = = |0,667-0,5| = 0.1666.. >>[pic 30][pic 31]
D2 = = |0,83 -0,5| = 0.33333..>>[pic 32][pic 33]
2° Iteração:
* = -F(X0)[pic 34][pic 35]
[pic 36]
* = -[pic 37][pic 38][pic 39]
[pic 40]
S1=0,142
S2=-0,195
[pic 41]
[pic 42]
Critério de Parada
D1 = = || = 0.142>[pic 43][pic 44][pic 45]
D2 = = || = 0.195 >[pic 46][pic 47][pic 48]
3° Iteração:
* = -F(X0)[pic 49][pic 50]
[pic 51]
* = -[pic 52][pic 53][pic 54]
[pic 55]
S1=0,040
S2=0,0136
...