Trigonometria

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Trigonometria: O círculo trigonométrico

Círculo trigonométrico

Arcos com mais de uma volta

Arcos côngruos e ângulos

Arcos simétricos: eixo OX

Arcos simétricos: eixo OY

Arcos simétricos: origem

Círculo Trigonométrico

Considere uma circunferência de raio unitário com centro na origem de um sistema cartesiano ortogonal e o ponto A=(1,0). O ponto A será tomado como a origem dos arcos orientados nesta circunferência e o sentido positivo considerado será o anti-horário. A região contendo esta circunferência e todos os seus pontos interiores, é denominada círculo trigonométrico

.

Nos livros de língua inglesa, a palavra círculo se refere à curva envolvente da região circular enquanto circunferência de círculo é a medida desta curva. No Brasil, a circunferência é a curva que envolve a região circular.

Os eixos OX e OY decompõem o círculo trigonométrico em quatro quadrantes que são enumerados como segue:

2o. quadrante

abscissa: negativa

ordenada: positiva

90º<ângulo<180º 1o. quadrante

abscissa: positiva

ordenada: positiva

0º<ângulo<90º

3o. quadrante

abscissa: negativa

ordenada: negativa

180º<ângulo<270º 4o. quadrante

abscissa: positiva

ordenada: negativa

270º<ângulo<360º

Os quadrantes são usados para localizar pontos e a caracterização de ângulos trigonométricos. Por convenção, os pontos situados sobre os eixos não pertencem a qualquer um dos quadrantes.

Arcos com mais de uma volta

Em Trigonometria, algumas vezes precisamos considerar arcos cujas medidas sejam maiores do que 360º. Por exemplo, se um ponto móvel parte de um ponto A sobre uma circunferência no sentido anti-horário e para em um ponto M, ele descreve um arco AM. A medida deste arco (em graus) poderá ser menor ou igual a 360º ou ser maior do que 360º. Se esta medida for menor ou igual a 360º, dizemos que este arco está em sua primeira determinação.

Acontece que o ponto móvel poderá percorrer a circunferência uma ou mais vezes em um determinado sentido, antes de parar no ponto M, determinando arcos maiores do que 360º ou arcos com mais de uma volta. Existe uma infinidade de arcos mas com medidas diferentes, cuja origem é o ponto A e cuja extremidade é o ponto M.

Seja o arco AM cuja primeira determinação tenha medida igual a m. Um ponto móvel que parte de A e pare em M, pode ter várias medidas algébricas, dependendo do percurso.

Se o sentido for o anti-horário, o ponto M da circunferência trigonométrica será extremidade de uma infinidade de arcos positivos de medidas

m, m+2pi, m+4pi, m+6pi, ...

Se o sentido for o horário, o ponto M será extremidade de uma infinidade de arcos negativos de medidas algébricas

m-2pi, m-4pi, m-6pi, ...

e temos assim uma coleção infinita de arcos com extremidade no ponto M.

Generalizando este conceito, se m é a medida da primeira determinação positiva do arco AM, podemos representar as medidas destes arcos por:

µ(AM) = m + 2kpi

onde k é um número inteiro, isto é, k pertence ao conjunto Z={...,-2,-3,-1,0,1,2,3,...}.

Família de arcos: Uma família de arcos {AM} é o conjunto de todos os arcos com ponto inicial em A e extremidade em M.

Exemplo: Se um arco de circunferência tem origem em A e extremidade em M, com a primeira determinação positiva medindo 2pi/3, então os arcos desta família {AM}, medem:

Determinações positivas (sentido anti-horário)

k=0 µ(AM)=2pi/3

k=1 µ(AM)=2pi/3+2pi=8pi/3

k=2 µ(AM)=2pi/3+4pi=14pi/3

k=3 µ(AM)=2pi/3+6pi=20pi/3

... ...

k=n µ(AM)=2pi/3+2npi=(2+6n)pi/3

...