Trigonometria e complexo N¶umeros

Trigonometria e N¶umeros Complexos

Complementos µa Aula 6

1. Determine o conjunto imagem da fun»c~ao f(x) = 3 sen(x).

Solu»c~ao:

Para todo x real, ¡1 · sen(x) · 1; multiplicando essa desigualdade por 3, temos:

¡3 · 3 sen(x) · 3

Logo, a imagem de f ¶e Im(f) = [¡3; 3].

2. Determine o dom¶³nio da fun»c~ao f(x) = tg x +

¼

3 ‹.

Solu»c~ao:

Sabemos que existe tangente de µ se e somente se µ 6=

¼

2

+ k¼; k 2 Z. Logo,

µ = x +

¼

3

6=

¼

2

+ k¼ k 2 Z

Portanto, o dom¶³nio de f ¶e D(f) = fx 2 R=x 6=

¼

6

+ k¼; k 2 Zg.

3. Determine o conjunto imagem da fun»c~ao f(x) = ¡2 + 4 cossec(x).

Solu»c~ao:

Para todo x no dom¶³nio da fun»c~ao cossecante, temos

cossec(x) · ¡1 ou cossec(x) ¸ 1

Multiplicando as desigualdades por 4, temos

4 cossec(x) · ¡4 ou 4 cossec(x) ¸ 4

Subtraindo 2:

¡2 + 4 cossec(x) · ¡6 ou ¡ 2 + 4 cossec(x) ¸ 2

Logo, Im(f) = [¡6; 2].

1

4. Determine o dom¶³nio da fun»c~ao f(x) =

1

cotg(x + ¼

4 )

.

Solu»c~ao:

Para obtermos o dom¶³nio de f, duas condi»c~oes devem ser impostas: que a cotan-

gente exista e que seja diferente de zero.

Sabemos que existe cotg(µ) se, e somente se µ 6= k¼; k 2 Z. Logo,

µ = x +

¼

4

6= k¼; isto ¶e, x 6= ¡

¼

4

+ k¼ k 2 Z

E cotg(µ) 6= 0 para µ 6=

¼

2

+ k¼; k 2 Z.

Logo, D(f) = fx 2 R=x 6= ¼

4 + k¼ e x 6= ¡¼

4 + k¼; k 2 Zg.

Note que marcando os pontos correspondentes µas extremidades dos arcos ¼

4 + k¼ e

¡¼

4 + k¼, podemos escrever D(f) = fx 2 R=x 6= ¼

4 + k ¼

2 ; k 2 Zg.

5. Determine a paridade da fun»c~ao f(x) = x3 cos(x).

Solu»c~ao:

Vamos calcular f(¡x):

f(¡x) = (¡x)3 ¢ cos(¡x) = ¡x3 ¢ cos(x) = ¡f(x)

Como f(¡x) = ¡f(x), a fun»c~ao ¶e ¶³mpar.

6. Determine o conjunto imagem da fun»c~ao f(x) = sen(x) ¡ cos(x).

Solu»c~ao:

Podemos reescrever a fun»c~ao f da seguinte forma:

f(x) =

p

2‚1

p

2

sen(x) ¡

1

p

2

cos(x)ΠLogo, temos

f(x) =

p

2 sen 3¼

4 sen(x) + cos 3¼

4 cos(x) Usando a identidade do cosseno da soma de dois ^angulos, temos

f(x) =

p

2 cos 3¼

4

¡ x Portanto, a Im(f) = [¡

p

2;

p

2]

2

7. Determine o conjunto imagem da fun»c~ao f(x) = a sen(x) + b cos(x) onde a; b s~ao

reais n~ao nulos.

Solu»c~ao:

Suponha primeiramente que b > 0 e reescreva a fun»c~ao f da seguinte forma:

f(x) = b a

b

sen(x) + cos(x)‹ Como a fun»c~ao tangente ¶e uma bije»c~ao do intervalo €¡¼

2 ; ¼

2 Šsobre a reta real IR,

existe um ¶unico µ 2 €¡¼

2 ; ¼

2 Štal que tg(µ) = a

b ; logo

f(x) = b ( tg(µ) sen(x) + cos(x)) =

b

cos(µ)

( sen(µ) sen(x) + cos(µ) cos(x))

Usando a identidade do cosseno da soma de dois ^angulos, temos

f(x) =

b

cos(µ)

...