Fisica 2

Uma esfera A de massa "m" orbita um planeta, enquanto outra esfera B também de massa "m" é soltada em um dos polos passando pelo centro da terra, sem atrito, as duas esferas se encontram no mesmo lugar quando a esfera B é soltada, qual esfera chega primeiro?

LEVA O MESMO TEMPO E A FORÇA QUE PODE SER RELACIONADA É A DE UM OCILADOR HARMÔNICO SIMPLES OU FORÇA DE HULK.

Existem vários conceitos físicos para resolver este problema Leon.

Vamos atacar ele por dois lados.

1) Primeiro o cálculo do tempo que o objeto em orbita demora para dar meia volta na terra:

1.a) Como o objeto está orbitando o planeta a força da gravidade varia apenas a direção e não o módulo da velocidade, portanto a força gravitacional é a força centrípeta. Fg=Fc. Onde Fg=G.m1.M/R², sendo m1 é a massa do objeto, M e á massa da planeta, R é o raio do planeta e G é a constante da gravitação universal.

1.b) A força centrípeta é dada pela expressão Fc=m1.V²/R (onde V é a velocidade do objeto e R é o raio da trajetória circular), como o objeto está próximo a superfície do planeta R é o raio do planeta.

1.c)Fc=Fg, substituindo e Isolando a velocidade. V=(R.Fg/m1)^(1/2).

1.d) Velocidade é distancia por tempo. V=d/t, no caso de um semi círculo do planeta, d=Pi.R. então Pi.R/t=(R.Fg/m1)^(1/2)

1.e) Isolando o tempo. t=Pi*[(R.m1)/Fg]^(1/2) e substituindo Fg temos

t=Pi*[R³./(G.M)]^(1/2). (note que o tempo de órbita não depende da massa do objeto)

2) Agora calcular o tempo que o objeto demora para cair e passar pela Terra.

2.a) Primeiramente precisamos relembrar o teorema da casca esférica de Newton. O teorema diz que dentro de uma casca esférica a força gravitacional é nula (A prova desse teorema é mais sofisticada e envolve integração). O importante é notar que o objeto que vai entrando na terra não sente a força gravitacional da massa acima dele, apenas da massa que existe da esfera entre a posição do objeto e o centro do planeta.

2.b) Seja r a distância do objeto ao centro do planeta, Quando o objeto está a na superfície r=R e quando r está no centro do planeta r=0, portanto r é o raio da esfera que faz influência gravitacional sobre a objeto.

3.c) Considerando a densidade do planeta constante podemos calcular a massa m da esfera de raio r. M/[(4/3)*Pi.R³]=m/[(4/3)*Pi.r³), lembrando que o volume da esfera é 4/3*Pi.r³. => m=M.(r/R)³

3.d) A aceleração gravitacional é dada pela lei da gravitação de newton. Fg=-G*m1.m/r². Substituindo a expressão de m do item 3.c temo Fg=[G.m1.M.r³]/(r².R³), com exceção de r todos os outros itens são constantes. Fg=(m1.G.M/R³).r.

3.e) m1.G.M/R³ são contantes, vamos chamar eles de constante k, k=m1.G.M/R³ então F=k.r .... Considerando que é uma força contrária a velocidade. F=-k.r (expressão do oscilador harmônico). O objeto fica oscilando como um oscilador harmônico (uma mola) em relação ao centro do planeta.

3.f) O período de um oscilador harmônico é dado por T=2.Pi(m1/k)^(1/2), porem queremos meio período pois