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Matrizes

Por:   •  8/12/2015  •  Relatório de pesquisa  •  1.350 Palavras (6 Páginas)  •  321 Visualizações

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Trabalho 16

Exercício 5, pág. 135 - E. Giraldes, V. H. Fernandes e M. P. M. Smith, Curso de Álgebra Linear e Geometria Analítica, McGraw-Hill de Portugal, Lisboa, 1995.

Enunciado:

5. Seja [pic 2].

  1. Prove que as matrizes [pic 3]e [pic 4]são simétricas.
  2. Como pode classificar a matriz [pic 5]

5.

Resolução e Solução:

  1. Seja [pic 6] e [pic 7]

  • [pic 8][pic 9]+[pic 10]= [pic 11]

[pic 12]é simétrica sse [pic 13]

                                                [pic 14]

                                                [pic 15]

Assim verifica-se que, para qualquer tipo de matriz que [pic 16]seja e para quaisquer valores reais que se atribuam aos seus elementos, [pic 17] será sempre uma matriz simétrica.

Justificação teórica de cada passo dado:

Qualquer matriz quadrada é simétrica se e só se, para todos os índices i e j, [pic 18] (i.e. todos os elementos simétricos em relação à diagonal principal são iguais entre si).

[pic 19]é simétrica sse [pic 20],

[pic 21]                 Exemplo: [pic 22][pic 23][pic 24][pic 25][pic 26][pic 27][pic 28]

Logo, qualquer matriz quadrada é simétrica se for igual à sua transposta.

[pic 29] é simétrica sse [pic 30].

Exemplo: [pic 31] , [pic 32]    [pic 33] A é simétrica.

Para que a matriz [pic 34]seja simétrica esta tem de ser igual à sua transposta [pic 35].

[pic 36]

                          [pic 37]

                           [pic 38]

Trata-se de uma afirmação universal, [pic 39]. [pic 40] é uma matriz simétrica para quaisquer valores reais dos seus elementos.

Um exemplo de matriz é:

[pic 41]         [pic 42]

[pic 43]

[pic 44]é simétrica pois os seus elementos simétricos em relação à diagonal principal são iguais entre si: [pic 45] , ([pic 46]).

Resolução e Solução:

  • [pic 47]

[pic 48]é simétrica sse [pic 49]

                                        [pic 50]

Então,

[pic 51]

          [pic 52]

       [pic 53]

Como[pic 54],[pic 55] e [pic 56]são elementos simétricos entre si da matriz e [pic 57][pic 58], a matriz [pic 59] é simétrica.

Justificação teórica de cada passo dado:

Para que [pic 60] seja simétrica, esta tem de ser igual à sua transposta [pic 61].

[pic 62]

                 [pic 63]

Para duas matrizes serem iguais os seus elementos com índices correspondentes têm de ser iguais: [pic 64], [pic 65]   [pic 66] [pic 67] 

[pic 68][pic 69]

      [pic 70][pic 71]

Simplificando:

Seja [pic 72]  e  [pic 73]

[pic 74]

Então se [pic 75]prova-se que a matriz [pic 76] é simétrica, porque [pic 77]e [pic 78]são ambos elementos simétricos da matriz. Então se estes são iguais ([pic 79]) prova-se que a matriz está distribuída de forma simétrica ([pic 80]).

Um exemplo de matriz é:

[pic 81]                        [pic 82]

[pic 83]

[pic 84]é simétrica pois os seus elementos simétricos em relação à diagonal principal são iguais entre si: [pic 85],[pic 86] e [pic 87], ([pic 88]).

...

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