O PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM
Por: taylegal • 23/10/2017 • Projeto de pesquisa • 1.049 Palavras (5 Páginas) • 456 Visualizações
SUMÁRIO
1. ANALISE COMBINATÓRIA 2
1.1. PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM 2
1.2. TIPOS DE COMBINATÓRIA 2
1.2.1. ARRANJOS 3
1.2.2. COMBINAÇÕES 3
1.2.3. PERMUTAÇÕES 4
1.3. EXERCICIOS RESOLVIDOS 5
BIBLIOGRAFIA 7
ANALISE COMBINATÓRIA
A análise combinatória, ou simplesmente combinatória, são cálculos que permitem a formação de grupos relacionados à contagem. Permitindo fazer análise das possibilidades e das combinações possíveis entre um conjunto de elementos e por isso, é muito utilizada nos estudos sobre probabilidade e lógica.
PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM
O princípio fundamental da contagem diz:
“Quando um evento é composto por n etapas sucessivas e independentes, de tal modo que as possibilidades da primeira etapa é x e as possibilidades da segunda etapa é y, resulta no número total de possibilidades de o evento ocorrer, dado pelo produto (x) . (y)”.
Sendo assim, no princípio fundamental da contagem, multiplica-se o número de opções entre as escolhas que lhe são apresentadas. Como exemplo, podemos pensar na combinação de roupas de uma garota, se ela possui 3 tipos de calças, 4 tipos de blusas, 2 tipos de sapatos e 3 tipos de bolsas, logo, para saber quais as diferentes possibilidades que a garota possui basta multiplicar o número de peças: 3 x 4 x 2 x 3 = 72. Então é valido dizer que a garota possui 72 possibilidades de combinações diferentes para o uso das peças de roupas e dos acessórios apresentados.
TIPOS DE COMBINATÓRIA
A combinatória utiliza de importantes ferramentas, ou seja, há três tipos básicos de agrupamento dos elementos: arranjos, combinações e permutações. Todas utilizam o fatorial.
ARRANJOS
Nos arranjos, os agrupamentos dos elementos dependem da ordem e da natureza dos mesmos. Para obter o arranjo simples de n elementos tomados, p a p (p ≤ n), utiliza-se a seguinte expressão:
[pic 1]
Um exemplo claro de arranjo são as eleições, sendo 20 deputados concorrentes a 2 vagas no estado de São Paulo, de quantas maneiras distintas a escolha poderá ser feita? Vale lembrar que nesse caso, a ordem é importante, já que altera o resultado final.
[pic 2]
Então, o arranjo pode ser feito de 380 maneiras diferentes.
COMBINAÇÕES
As combinações são subconjuntos em que a ordem dos elementos não é importante, entretanto, são caracterizadas pela natureza dos mesmos. Sendo assim, para calcular uma combinação simples de n elementos tomados p a p (p ≤ n), utiliza-se a seguinte expressão:
[pic 3]
Exemplificando, pode-se pensar na escolha de 3 membros para formar uma comissão organizadora de um evento, dentre as 10 pessoas que se candidataram. Para tanto, Maria, João e José são os escolhidos. De quantas maneiras distintas esse grupo pode se combinar?
É importante ressaltar que ao contrário dos arranjos, nas combinações a ordem dos elementos não é relevante. Os cálculos então serão:
[pic 4]
Logo, existem 120 maneiras distintas de combinar os 3 membros da comissão.
PERMUTAÇÕES
As permutações são agrupamentos ordenados, aonde o número de elementos (n) do agrupamento é igual ao número de elementos disponíveis, expresso pela fórmula:
[pic 5]
Para exemplificar, pode-se pensar de quantas maneiras diferentes poderiam surgir a sequência de resultados dos 5 números que saíram na loteria: 11, 12, 44, 52, 61.
Sendo assim, os números que compõem o resultado final é uma sequência de 6 números, então:
[pic 6]
Logo, o resultado final da loteria, podem ser permutados 720 vezes.
EXERCICIOS RESOLVIDOS
1) De um total de 6 pratos à base de carboidratos e 4 pratos à base de proteínas, pretendo fazer o meu prato com 5 destes itens, itens diferentes, de sorte que contenha ao menos 2 proteínas. Qual é o número máximo de pratos distintos que poderei fazer?
Se não houvesse a restrição das duas proteínas, o cálculo seria simplesmente C10, 5:
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