Introdução à Física Computacional

Gabriele Audrey de Oliveira

Nº USP: 9849094

PROJETO 5 – Dinâmica Populacional

Professor Drº Eric de Castro e Andrade

Introdução à Física Computacional

7600017

São Carlos

2018

Introdução

        Caos em sistemas determinísticos não-lineares tem se tornado um tópico muito divulgado e estudado nas últimas décadas. Primeiro, porque a palavra “determinismo” remete-se a uma ideia de previsão em sistemas dinâmicos, como mostra a Mecânica Newtoniana. No entanto, para alguns sistemas não-lineares, o determinismo Newtoniano pode dar resultados que não condizem com resultados experimentais. Para esses sistemas, a imprevisão causada não vem da falta de determinismo, mas porque a complexidade da dinâmica requer uma precisão que é impossível de calcular. Isto pode ser visto em sistemas onde condições iniciais muito parecidas geram comportamentos muito diferentes.

Sistemas caóticos são simples subconjunto da dinâmica não-linear. Eles podem conter algumas partes interagindo e seguir simples regras (leis da dinâmica), mas todos esses sistemas têm uma sensível dependência em suas condições iniciais. Apesar de sua simplicidade determinística, esses sistemas podem produzir, para longos períodos de tempo, um comportamento imprevisível, e até mesmo divergente.

Método do ponto fixo

Inicialmente, vamos usar como base deste projeto o crescimento populacional de uma espécie isolada e na ausência de predadores. Nesse modelo idealizado, faremos duas hipóteses

• Mais animais implicam em mais descendentes;
• Existe um limite superior para o número de animais que podem habitar o ambiente de forma sustentável;

O primeiro modelo que vamos utilizar é o seguinte:

 ,[pic 1]

Onde  é o número de animais em um determinado tempo e  é a taxa relacionada com a reprodução. A solução discreta para a equação modificada para satisfazer as hipóteses iniciais é[pic 2][pic 3]

,[pic 4]

Onde é o número de animais na geração i e definimos como uma nova constante , onde foi introduzido uma nova variável   acima da qual a população de animais não pode mais crescer. Agora, definimos , temos[pic 5][pic 6][pic 7][pic 8]

[pic 9]

Com o intervalo . Essa equação acima é conhecida como mapa logístico e descreve o crescimento populacional respeitando as duas hipóteses acima.[pic 10]

Reescrevendo a equação assim como

[pic 11]

Onde o mapa  é definido como:        [pic 12]

.[pic 13]

Os fundamentos desse projeto serão baseados em procurar pelo valor máximo da população para um dado valor da taxa de reprodução r. Esse valor é conhecido como ponto fixo do mapa  (população não aumenta mais com o passar do tempo)[pic 14]

[pic 15]

Modelo Predador-presa

Podemos incrementar nosso modelo ecológico adicionando uma segunda espécie ao problema. Admitimos que essa segunda espécie interage com a primeira espécie mudando seu número. O modelo mais simples a ser considerado é o modelo predador-presa ou Lotka-Volterra. As populações das duas espécies obedecem às seguintes equações diferenciais:

[pic 16]

[pic 17]

Onde: y é o número de indivíduos de algum predador, x é o número dos indivíduos da sua presa, t representa o tempo; e a,b,c, e d são parâmetros (positivos) representando a interação entre as duas espécies. Sendo:

a: taxa de crescimento da população de presas;

b: taxa de decréscimo da população de predadores;

c: taxa de decréscimo da população de presas;

d: taxa de crescimento da população de predadores.

Utilizando o método de Euler –Cromer para resolver a equação acima, temos:

[pic 18]

[pic 19]

Metodologia

        Inicialmente, foi calculada a solução para a equação do ponto fixo utilizando um software. Em seguida foi implementado o mapa logístico através do seguinte código no Fortran:

Inicialmente foram declaradas as variáveis

[pic 20]

[pic 21]

E a variável de trabalho

[pic 22]

Para que não fosse necessário utilizar diferentes valores de r definidos como parâmetros, coloquei um write para que os valores inseridos de r fossem 1, 2 e 2,5, e um read

[pic 23]

[pic 24]

O mesmo raciocínio foi utilizado para o valor de x0

[pic 25]

[pic 26]

Em seguida foi aplicado um do

[pic 27]

[pic 28]

[pic 29]

[pic 30]

Para calcular a distância foi feito um novo código:

[pic 31]

Foram declaradas as novas variáveis:

[pic 32]

[pic 33]

[pic 34]

[pic 35]

[pic 36]

E a variável de trabalho:

[pic 37]

Novamente, deixei o write para o valor de r, pois foi com base no programa anterior, mas mantive o r=2.5

[pic 38]

[pic 39]

O mesmo foi feito para o  entretanto este será variado em cinco valores diferentes[pic 40]

[pic 41]

[pic 42]

[pic 43]

[pic 44]

Então foi aplicado um do

[pic 45]

[pic 46]

[pic 47]

[pic 48]

[pic 49]

[pic 50]

Para o calculo do coeficiente de Lyapunov foi utilizado o seguinte código:

Primeiramente declarando as variáveis:

[pic 51]

E as condições iniciais, com o valor de x mudado conforme o pedido

[pic 52]

[pic 53]

E as variáveis de trabalho

[pic 54]

[pic 55]

[pic 56]

Em seguida feito um do:

[pic 57]

[pic 58]

[pic 59]

[pic 60]

[pic 61]

Por fim, foi feito um programa para o calculo da equação segundo o medelo predador-presa de Lotka-Volterra:

Declarando as variáveis :

[pic 62]