PROVAS POR CONTRADIÇÃO E CONTRAPOSIÇÃO

PROVAS

POR CONTRADIÇÃO

E CONTRAPOSIÇÃO

Alunos: Reginaldo Campos

                       20171001391

                       Thiago Dias

                       20171001516

                       Gabriel Souza

                       Júlio Cesar

Contraposição

Se você tentou, diligentemente, produzir uma demonstração direta da conjectura P -> Q, não conseguiu, mas ainda acha que a conjectura é verdadeira, você pode tentar algumas variantes da técnica de demonstração direta. Se você puder provar o teorema Q' -> P', pode concluir que P->Q usando a tautologia (Q'->P') -> (P->Q).Q'->P' é a contrapositiva de P->Q, e a técnica de prova P->Q através de uma demonstração direta de Q'->P' é chamada de uma demonstração por contraposição (ou demonstração indireta pela contrapositiva). (A regra de inferência de contraposição na logica proposicional diz que P->Q pode ser deduzida de Q'->P' .)

Exemplo 1 : Se n² é par então n é par prova por contraposição.

P: n² par               P->Q  Q'->P'

Q : n par                Se n é impar, então n² impar

  N=2k+1

 N²=(2k+1)²=  4k²+4k+1=2(2k²+2k)+1

Exemplo 2 : n+m é par é n e m tem a mesma paridade por contraposição.

P: n+m é par

Q: n e m tem a mesma paridade

P->Q Q' ->P'

Q' : n e m tem paridade diferentes

P' : n+m é impar

N+M = 2k+ 2k+1=4k+1

Exemplo 3

p --> q (proposição condicional) 
p é condição suficiente para q. 
q é condição necessária para p. 
ocorrer p é condição suficiente para ocorrer q. 
q ocorrer é condição necessária para p ocorrer. Isto não quer dizer que se q ocorrer, p ocorrerá; mas uma coisa é certa; se q não ocorrer p não ocorrerá. Esse raciocínio é válido para a contrapositiva. Assim, se p --> q for verdade; ~q --> ~p também será. 

contrapositiva ~q --> ~p 

y³+yx² ≤ x³+xy², então y ≤ x (correspondente a p --> q) 

y > x, então y³+yx² > x³+xy² (correspondente a ~q --> ~p) 

y > x, então y(y²+x²) > x(x²+y²) 

A expressão (y²+x²) existe nos dois membros da segunda desigualdade. Dessa forma é fácil concluir que se y > x, então y(y²+x²) > x(x²+y²). 

Assim, y > x é condição suficiente para y(y²+x²) > x(x²+y²) e 
y(y²+x²) > x(x²+y²) é condição necessária para y ser maior do que x.

Exemplo 4

Prove por contraposição que se y³+yx²<=x³+xy², então y<=x, com x e y

pertencentes aos reais.

y³+yx² ≤ x³+xy², então y ≤ x (correspondente a P -> O)

y > x, então y³+yx² > x³+xy² (correspondente a O' -> P'

y > x, então y(y²+x²) > x(x²+y²)

A expressão (y²+x²) existe nos dois membros da segunda desigualdade. Dessa

forma é fácil concluir que se y > x, então y(y²+x²) > x(x²+y²).

Assim, y > x é condição suficiente para y(y²+x²) > x(x²+y²) e

y(y²+x²) > x(x²+y²) é condição necessária para y ser maior do que x.

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