Tarefas Matemática para Computação

[pic 1]

Apresente o desenvolvimento em todas as resoluções das questões propostas.

Para a questão 1, considere N o conjunto dos números naturais N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...}.

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1. (0,4 ponto) Considere os seguintes conjuntos:

A = { x | x ∈Ν e 0 < x < 16}        B = { x | x ∈Ν e 2 < x < 16}

C = {0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, ...}        D = {2, {3}, {2, 3}}

Para cada uma das afirmações abaixo diga se é verdadeira ou falsa, justificando a sua resposta:

a) 𝐵 ⊆ 𝐴

Resposta: Falsa, pois 16 é um elemento do conjunto B, mas 16 não pertence ao conjunto A. Logo, B não é subconjunto de A. Por outro lado, A é subconjunto de B, já que todos os elementos de A também são elementos de B.

1. 2 ∉ B

 Resposta: Verdadeira, pois B é o conjunto formado por números naturais “maiores” do que 2 e menores ou iguais a 16. Logo 2 não pertence ao conjunto B.

1. B ⊈C

 Resposta: Verdadeira, pois, por exemplo, 3∈B, mas 3∉C. Logo, B não é subconjunto de C, indicando que é correto afirmar que B ⊈C .

d) {2} ⊆ D

 Resposta: Verdadeira, pois o conjunto {2} é um subconjunto de D, já que o único elemento 2 que possui, é um dos elementos de D.

e) {2}∈ D

Resposta: Falsa, pois {2} não é um dos elementos de D. f) {0, 2, 6, 28, 34, 52} ⊆ C

Resposta: Verdadeira, pois C é o conjunto dos números naturais pares e todos os elementos do conjunto {0, 2, 6, 28, 34, 52}são naturais pares.

g) {3} ∈ D

 Resposta: Verdadeira, pois {3} é um dos três elementos do conjunto D. h) {2, 3} ⊆ D

 Resposta: Falsa, pois o conjunto {2, 3} não é um subconjunto de D, já que possui o elemento 3 que não é elemento de D.

i) {2, {3}}  ⊆ D[pic 3][pic 4][pic 5][pic 6][pic 7][pic 8]

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j) {2}, {3} ∈ D

 Resposta: Falsa, pois {2} não é um dos elementos de D. Note que {3} ∈ D está correto.

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1. (0,4 ponto) Determine os conjuntos 𝐴 e 𝐵, tais que: 𝐴’ = {1, 3, 6, 8}, 𝐴 ∩𝐵 = {5} e

𝐴 𝖴 𝐵 = {1, 2, 4, 5, 6,7}.

Solução: Fazendo os Diagramas de Venn, comece completando a intersecção de A com B. Após, complete com os elementos que estão em A, mas não em B (são os que ainda estão em 𝐴 𝖴 𝐵, mas não estão em 𝐴’). Após, complete os elementos de B, que são os que estão na união de A em B, mas ainda não foram colocados em nenhum diagrama. Logo, 𝑨 =[pic 11]

{𝟐, 𝟒, 𝟓, 𝟕} e 𝑩 = {𝟏, 𝟓, 𝟔}.  

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3) (0,4 ponto) Sendo os conjuntos 𝐴 = {𝑥 ∈ ℕ ∶ 1 ≤ 𝑥 ≤ 6}, 𝐵 = {𝑥 ∈ ℕ ∶ 𝑥 é í𝑚𝑝𝑎𝑟 𝑒 𝑥 < 9} e

𝐶 = { 𝑥 ∈ ℕ ∶ 𝑥 > 3} , determine:

(a) 𝐴 ∩ 𝐵        (b) 𝐵 − 𝐶        (c) 𝐴 𝖴 𝐶        (d) 𝐶′

Solução: Veja que 𝐴 = {𝑥 ∈ ℕ ∶ 1 ≤ 𝑥 ≤ 6} = {1, 2, 3, 4, 5, 6}; são os números naturais maiores ou iguais a 1 e menores ou iguais a 6;

         𝐵 = {𝑥 ∈ ℕ ∶ 𝑥 é í𝑚𝑝𝑎𝑟 𝑒 𝑥 < 9} = {1, 3, 5, 7} são os números naturais ímpares menores do que 9; e

         𝐶 = { 𝑥 ∈ ℕ ∶ 𝑥 > 3} = {4, 5, 6, 7, … } são todos os números naturais maiores do que 3. Assim, temos que:

1. 𝑨 ∩ 𝑩 = { 𝟏, 𝟑, 𝟓} (os números naturais ímpares que estão entre 1 e 6)
2. 𝑩 − 𝑪 = {𝟏, 𝟑} (os números naturais ímpares que são menores ou iguais a 3)
3. 𝑨 𝖴 𝑪 = {𝟏, 𝟐, 𝟑, 𝟒, 𝟓, 𝟔, … } (os números naturais que são maiores ou iguais a 1).
4. 𝑪′ = {𝒙 ∈ ℕ ∶ 𝒙 ≤ 𝟑} = {𝟎, 𝟏, 𝟐, 𝟑} (os números naturais que são menores ou iguais a 3).

[pic 13]

1. (0,4 ponto) Em uma prova discursiva de Matemática para Computação com apenas duas questões, 470 alunos acertaram somente uma das questões e 260 acertaram a segunda. Sendo que 90 alunos acertaram as duas e 210 alunos erraram a primeira questão. Quantos alunos fizeram a prova?

Solução: Fazendo os Diagramas de Venn para o acerto das questões 1 e 2, comece completando a intersecção. Em seguida podemos pensar que, se 260 acertaram a segunda, então 260 – 90 = 170 acertaram exclusivamente a segunda questão. A partir disto, se 470 alunos acertaram somente uma das questões, então 470 – 170 = 300 acertaram exclusivamente a primeira. Com a informação de que 210 alunos erraram a primeira, temos 210 – 170 = 40 erraram as duas questões. Logo, temos que 300 + 90 + 170 + 40 = 600 alunos fizeram a prova.