A Estatística Aplicada

1-Certos transistores fabricados por certa empresa têm uma vida média de 800 horas e desvio padrão de 60 horas. Determinar a probabilidade de uma amostra aleatória de 16 válvulas retiradas de o grupo ter uma vida média entre 790 e 810 horas

R: 49,72%

Informações:
Média = 800,  Desvio = 60

Amostra:
Média = 800
Desvio = 60/raiz(16) = 60/4 = 15

Z1 = (790 - 800) / 15 = -0,667 -> Tabela -> 0,2514
Z2 = (810 - 800) / 15 = 0,667 -> Tabela -> 0,7486

P = (790 < X < 810) -> P= 0,7486 – 0,2514 -> P= 0,4972 -> P= 49,72%

2-O peso dos fardos recebidos por um determinado depósito tem uma média de 150kg e um desvio padrão de 25kg. Qual é a probabilidade de que 25 fardos recebidos ao acaso e carregados em um elevador exercer o limite especifico de segurança deste, que é de 4100 kg.

R: 0,26%

Informações:
Média = 150
Desvio = 25

Amostra:
Média = 150
Desvio = 25/raiz(25) = 25/5 = 5

Para termos 4100 kg em 25 fardos, o peso médio dos fardo deveriam ser 164 kg.

Peso Médio = 4100/25 = 164 kg.

 Neste caso, a curva normal terá média 150, com desvio 5, com um limite superior de 164

Z= (164 – 150)/5 = 2,8

Analisando a tabela para Z = 2,8 temos 0,4974. Entretanto queremos saber o que exceda os 164 kg. É só calcular o que falta pra dar 50%.

p = 50 - 49,74 = 0,26%

3-Uma prévia eleitoral mostrou que certo candidato recebeu 46% dos votos. Determinar a probabilidade de uma seção eleitoral constituída de 200 pessoas selecionadas ao acaso entre a população votante apresentar a maioria de votos a favor desse candidato.

R:11,31%

Informações:

n = 200
p = 0,46
q =  0,54

Maioria dos votos 50% de 200 = 100 -> P(X > 100)

Media = n.p -> 200.0,46 -> 92
Desvio padrão = raiz(n.p.q) -> raiz(200.0,46.0,54) -> 7,048

Z = (100 - 92) / 7,048 -> 1,14

P (X > 100) = P(Z > 1,14) -> P(Z < -1,14) -> P= 0,1271 -> P= 12,71%

Como alguns números foram arredondados para facilitar o cálculo, entendo que por aproximação a resposta é 12,56.

4-As lâmpadas elétricas do fabricante A duram em média 1400 horas com desvio padrão de 200 horas e as do fabricante B duram em média 1200 horas com desvio padrão de 100 horas. Se forem ensaiadas 125 lâmpadas de cada marca qual será a probabilidade de que as da marca A tenham vida média maior do que as da marca B em pelo menos160 horas?

R:97,72%

Informações:

Media A = 1400h
Media B = 1400h
Desvio A = 200h
Desvio B = 100h
Amostra A = Amostra B = 125

Z = (160 -200)/ √ (200 ²/125)+√ (100 ²/125) >> Z = -40 / √(40000/125) + √(10000/125)

Z = -40 / √(50000/125) >> Z = -40 / √400 >>Z = -40/20 >> Z = -2

Área = 0,4772

P(Xa > Xb + 160) = P(Xa – Xb > 160) = P(z> -2)
P(z > -2) = 0,5+0,4772 = P=0,9772 -> P=97,72%

5- Os resultados de uma eleição mostram que certo candidato recebeu 65% dos votos.

Determinar a probabilidade de duas amostras aleatórias, constituídas cada uma de 200 eleitores, indicarem mais de 10% de diferença nas proporções dos que votaram a seu favor.

R:3,16%

6- Desejamos estimar a via útil de determinado tipo de lâmpada eletrônica e para tanto coletamos uma amostra de 64 lampadas escolhidas aleatoriamente. Essas lâmpadas foram testadas e revelaram uma vida média de 6000 hrs com um desvio padrão de 350 horas. Baseado nesses dados fazer a estimação de 95% de confiabilidade

R: 6000 ± 85,75 horas

Média: 6000
Valor critico: At = (1-0,95)/2 = 0,0250 -> Tabela -> Zc=1,96
Desvio padrão: 350
Amostra: 64

6000±1,96*(350/raiz(64))
6000±1,96*(350/8)
6000±1,96*43,75
6000±85,75

7-O seu chefe precisa tomar uma decisão acerca da implantação de uma nova unidade e pediu para você fazer uma estimativa dos gastos com salários. Para tanto você fez uma pesquisa com 225 trabalhadores da região em que será instalada a fábrica, seguindo a distribuição de cargos e funções e chegou à média de R$1950, com desvio padrão de R$ 298. Baseado nestes dados qual foi a estimativa apresentada com 95% de confiabilidade?

R: 1950 ± 38,9 reais

Média: 1950
Valor critico: At = (1-0,95)/2 = 0,0250 -> Tabela -> Zc=1,96
Desvio padrão: 298
Amostra: 225

1950±1,96*(298/raiz(225))
1950±1,96*(298/15)
1950±1,96*19,867
1950±38,94

8-O seu chefe precisa tomar uma decisão acerca da implantação de uma nova unidade e pediu para você fazer uma estimativa dos gastos com salários. Ele te informou que só conseguirá tomar essa decisão para um erro esperado máximo de 20 reais e com uma confiabilidade de 95%. Para tanto você fez uma pesquisa com 225 trabalhadores da região em que será instalada a fábrica, seguindo a distribuição de cargos e funções e chegou à média de R$1950, com desvio padrão de R$ 298, mas não conseguiu atender ao erro esperado fixado pelo seu chefe. Quantos trabalhadores a mais você terá que pesquisar para atingir os valores estipulados de confiabilidade e erro esperado?

R: 628 trabalhadores

Média: 1950
Valor critico: At = (1-0,95)/2 = 0,0250 -> Tabela -> Zc=1,96
Desvio padrão: 298
Amostra: x

Z = 1950+1,96*(298/√x)

Z = 1950+(584/√x), tirando o MMC de √x e 1, temos

Z = √1950x+584

Z = 44,16+584

Z = 628

9-Em uma escola o professor fez uma pesquisa contando com a participação de cinco alunos. Nesta pesquisa foram feitas duas indagações:

·         Quantas horas você estudou para a prova de estatística, e

·         Qual foi sua nota na prova de estatística

Os resultados estão listados a seguir: