Aps vetores
Por: priscilinha92 • 17/5/2015 • Monografia • 3.474 Palavras (14 Páginas) • 183 Visualizações
[pic 1]
Dois Vetores Unitários Particulares.
i = (1, 0) e j = (0, 1)
O primeiro aponta no sentido dos x positivos, e o segundo, no sentido dos y positivos. Juntos, fornecem uma anotação alternativa útil para vetores. Pois, se u = (u1, u2), então
u = (u1, 0) + (0, u2)
u = u1(1, 0) + u2(0, 1) = u1i + u2j.
Logo, qualquer vetor é combinação linear (forma linear; linear funções, cujas equações funcionais contêm no máximo a 1ª potência da variável)dos dois vetores i e j. Tais combinações lineares de vetores podem ser manipuladas exatamente como combinações de números reais. Por exemplo, se
u = u1i + u2j v = v1i + v2j
então:
u + v = (u1i + u2j) + (v1i + v2j)
u + v = (u1 + v1)i + (u2 + v2)j.
cu = c(u1i + u2j)
cu = (cu1)i + (cu2)j.
Exemplo:
Se u = 2i – 3j e v = 3i + 4j, então
5u – 3v = 5(2i – 3j) – 3(3i + 4j)
= (10i – 15j) – (9i – 12j)
= (10 – 9)i + (-15 – 12)j
= i – 27j
INDEPENDÊNCIA LINEAR EM R²
Suponha que u = (u1, u2) e v = (v1, v2) sejam vetores tais que os pontos (u1, u2) e (v1, v2) estão sobre a mesma reta que passa pela origem. A Fig.1,0 mostra um caso que ambos os pontos estão no primeiro quadrante. Através da semelhança dos triângulos retângulos (caso particular da aplicação afim, em que se conserva a razão de segmentos correspondentes.) indicados, vem que:
[pic 2][pic 3]
y (v1, v2)[pic 4][pic 5]
(u1,u2)[pic 6][pic 7]
[pic 8]
X
[pic 9]
Sabe-se que:
u = (u1, u2) = [pic 10]
ou seja, u = cv,
onde c = [pic 11]. Portanto, o vetor u é um múltiplo escalar do vetor v.
Dizemos que dois vetores u e v são linearmente dependentes se um deles é um múltiplo escalar do outro, ou
u = cv ou v = cu
para algum escalar c.
Se u e v forem vetores linearmente dependentes com u = cv (por exemplo), então
1.u + (-c).v = 0.
Logo, existem escalares a e b, não simultaneamente nulos, tais que au + bv = 0
De outro modo, suponha que a equação au + bv = 0 se verifica com a e b não ambos nulos. Se a≠0 (por
exemplo), então podemos resolver para u = [pic 12]= cv
com c = [pic 13], e assim segue-se que u e v são linearmente dependentes. Deste modo, provamos o seguinte teorema.
Teorema: Dois vetores Linearmente Dependentes
Dois vetores u e v são linearmente dependentes se e somente se existem escalares a e b,não ambos nulos, tais que
au + bv = 0
Os pares de vetores mais interessantes são os que não são linearmente dependentes. Dizemos que os vetores u e v são linearmente independentes desde que não sejam linearmente dependentes. Logo, u e v são linearmente independentes se e somente se nenhum deles for múltiplo escalar do outro. Pelo teorema anterior, isto equivale à seguinte afirmação:
Os vetores u e v são linearmente independentes se e somente se a relação
au + bv = 0
Implica que a = b = 0
Assim, os vetores u e v são linearmente independentes se nenhuma combinação linear não – trivial deles for igual ao vetor nulo.
Exemplo:
Se u = (3, -2), v = (-6, 4) e w = (5, -7), então u e v são linearmente dependentes, pois v = - 2u . (u = -cv, onde c = -2)por outro lado, u e w são linearmente independentesEis um argumento para confirmar este fato: suponha que existissem escalares a e b, tais que
au + bv = 0
então
a(3, -2) + b(5, -7) →(3a – 2a) + (5b – 7b)
e daí, obteríamos as equações simultâneas
3a + 5b = 0
-2a – 7b = 0
Agora é fácil mostrar que a = b = 0 é a (única) solução deste sistema. Isso mostra que sempre que
au + bv = 0
...