PEQUISA OPERACIONAL

Nome ________________________________________________ Nota ____

1) (2,5 pontos) Uma companhia produz três tipos de fertilizantes a partir da mistura de ingredientes a base de nitrato, fosfato, fósforo e de um componente inerte, conforme o quadro:

Tipo de Fertilizante Proporção em peso dos ingredientes (%)

Nitrato Fosfato Potássio C. Inerte Preço de Mercado(R$/ton)

A 5 10 5 80 800

B 5 10 10 75 960

C 10 10 10 70 1100

Nitrato Fosfato Potássio C. Inerte

Disponibilidade(tons) 1200 2000 1400 -

Custo ($/ton) 3000 1000 1800 200

O custo da mistura, empacotamento e promoção de vendas é estimado em R$300 por tonelada para quaisquer produtos. A companhia possui contrato de longo prazo para o fornecimento mensal de 6500 toneladas de fertilizante A. Propõe-se a programação da produção para o próximo mês, com o objetivo de maximizar o lucro. Elabore o modelo de programação linear.

Resposta:

1) Variáveis de decisão:

x1 = Quantidade em toneladas a ser produzida do fertilizante A

x2 = Quantidade em toneladas a ser produzida do fertilizante B

x3 = Quantidade em toneladas a ser produzida do fertilizante C

2) Função Objetivo:

Maximizar o lucro.

Lucro: Preço de venda – Preço de custo

Fertilizante A = 800 – (5*3000+10*1000+5*1800+80*200)/100 – 300 = 0

Fertilizante B = 960 – (5*3000+10*1000+10*1800+75*200)/100 – 300 = 80

Fertilizante C = 1100 – (10*3000+10*1000+10*1800+70*200)/100 – 300 = 80

Max z = 80x2 +80x3

3) Restrições:

- Disponibilidade de ingredientes:

5/100 x1 +5/100 x2 +10 /100 x3 <= 1200

10/100 x1 +10/100 x2 +10/100 x3 <= 2000

5/100 x1 +10/100 x2 +10/100 x3 <=1400

- Contrato de fornecimento do fertilizante A: x1 >= 6500

- Não negatividade: x1,x2,x3 >= 0

Portanto, o modelo é:

Max z = 80x2 +80x3

0,05 x1 + 0,05 x2 + 0,1 x3 <= 1200

0,1 x1 + 0,1 x2 + 0,1 x3 <= 2000

0,05 x1 + 0,1 x2 + 0,1 x3 <= 1400

x1 >= 6500

x1,x2,x3 >

= 0

2) (2,5 pontos) Use o método da função auxiliar para encontrar uma solução inicial para o problema abaixo:

Resposta: 1) Acrescente as variáveis de folga e as variáveis artificiais

x1 x2 x3 x4 a1 a2 b

L1 a1 8 4 -1 1 5

L2 a2 2 6 -1 1 3

L3 fa 0 0 0 0 1 1 0

L4 f(x) -16 -12 0 0 0 0 0

L3=-L1-L2+L3 2) Coloque na forma Canônica

x1 x2 x3 x4 a1 a2 b

L1 a1 8 4 -1 1 5

L2 a2 2 6 -1 1 3

L3 fa -10 -10 1 1 0 0 -8

L4 f(x) -16 -12 0 0 0 0 0

L1=L1/8 3) Determine variável a entrar e sair da base. Coloque na forma canônica.

L2=-2/8*L1+L2

L3=10/8*L1+L3

L4=16/8*L1+L4

x1 x2 x3 x4 a1 a2 b

L1 x1 1 0,5 -0,125 0 0,125 0 0,625

L2 a2 0 5 0,25 -1 -0,25 1 1,75

L3 fa 0 -5 -0,25 1 1,25 0 -1,75

f(x) 0 -4 -2 0 2 0 10

L1=-0,5/5*L2+L1 3) Determine variável a entrar e sair da base. Coloque na forma canônica.

L2=L2/5

L3=-5/5*L2+L3

L4=4/5*L2+L4

x1 x2 x3 x4 a1 a2 b

L1 x1 1 0 -0,15 0,1 0,15 -0,1 0,45

L2 x2 0 1 0,05 -0,2 -0,05 0,2 0,35

L3 fa 0 -10 -0,5 2 1,5 -1 -3,5

L4 f(x) 0 0 -1,8 -0,8 1,8 0,8 11,4

As variáveis artificiais deixaram a base. Portanto, devem ser eliminadas as linhas e colunas referente a essas variáveis. Uma solução inicial será x1=0,45 ; x2=0,35; x3=x4=0 f(x)=-11,4

3) (5 pontos) Considere o seguinte problema:

x1,x2 ≥ 0.

Cujo quadro obtido com o método simplex é:

x1 x2 xF1 xF2 xF3

x1 1 0 1/2 -1/2 0 2

x2 0 1 1/2 1/2 0 6

xF3 0 0 -1/2 1/2 1 4

0 0 2 1 0 F(x)+20

a) Determine graficamente a solução ótima.

Resposta: Desenhe o gráfico e verifique que a solução ótima é o ponto (2,6)

b) Apresente o