Trabalho sobre administração
Por: ad\das asdasd • 23/9/2019 • Relatório de pesquisa • 934 Palavras (4 Páginas) • 143 Visualizações
TEORIA DA ELASTICIDADE - LISTA III
Data de entrega: 12/04/10 – data de recebimento: 26/04/10
EQUAÇÕES GERAIS DA ELASTICIDADE
1) Sendo a força de massa o peso próprio, [pic 1] , considere-se o tensor
[pic 2]
Determinar uma expressão para [pic 3], para que [pic 4] seja um possível estado de tensão.
SOLUÇÃO:
- Equações de equilíbrio:
[pic 5]
As duas primeiras equações se anulam identicamente. A 3a equação fornece:
[pic 6]
Logo,
[pic 7]
Escolhamos, por exemplo, f(x,y)=0, donde se conclui que
[pic 8]
As equações de compatibilidade serão atendidas porque as tensões são funções lineares de x, y e z o que implica serem também as deformações, e como as equações de compatibilidade envolvem derivadas segundas elas serão identicamente nulas. Logo, o estado de tensão proposto é possível, ou seja, atende às equações de equilíbrio e de compatibilidade.
2) Seja uma barra cilíndrica sujeita ao peso próprio, [pic 9]. Pelo Método inverso, consideremos o tensor:
[pic 10]
[pic 11]
Determinar as forças de superfície correspondentes.
SOLUÇÃO:
- verifiquemos se [pic 12] é um estado de tensão possível.
- Equações de equilíbrio:
[pic 13] , atendidas
- Equações de compatibilidade:
Como a componente não nula [pic 14] é função linear, as equações de compatibilidade também são atendidas
- determinação das forças de superfície
- superfície lateral:
[pic 15]
[pic 16]
[pic 17]
o que indica que a superfície lateral está livre de forças (descarregada).
- superfície inferior:
[pic 18]
[pic 19]
[pic 20]
Na superfície inferior x=0. Logo,
[pic 21]
o que indica que a superfície inferior está descarregada.
- superfície superior:
[pic 22]
[pic 23]
[pic 24]
Na superfície superior x=L. Logo,
[pic 25]
[pic 26]
Então a força de superfície é uma distribuição de forças constantes e de direção x. Sua resultante é R = γ.L.A = γ.V = P (peso total da barra), o que verifica o equilíbrio global.
3) Determinar os deslocamentos para a barra cilíndrica do problema anterior.
SOLUÇÃO:
Das relações tensão-deformação, temos:
[pic 27]
Das relações deformação-deslocamento, com [pic 28],
[pic 29]
Determinação de u:
Derivando (2) e (4):
[pic 30] (7)
Derivando (3) e (5):
[pic 31] (8)
Derivando (4), (5) e (6):
[pic 32]
Integrando as equações (1), (7)
De (1) :[pic 33]
[pic 34]
Os termos lineares não afetam o estado de deformação, ou seja, correspondem a um movimento de corpo rígido, cujos 6 graus de liberdade correspondem às 6 constantes. Para determinarmos as constantes, vamos restringir o movimento de corpo rígido. Seja, por exemplo, as translações e as rotações nulas no ponto P(L,0,0). (u=v=w=wxy=wxz=wyz=0)
Obtemos, então,
C1=C2=C4=C5=C6=0; C3=-kL2/2
Logo,
[pic 35][pic 36]
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
1) Seja um ensaio de corpo de prova a tração na direção z (isto é, σX = σY = 0 e σZ não nulo). Use a lei de Hooke generalizada expressa em função das constantes de Lamé para relacionar εX e εY a εZ , e εZ a σZ . Em seguida, compare os resultados obtidos com as expressões:
εX = εY = - ν εZ ; σZ = E εZ
e então obtenha as relações entre as constantes de Lamé e o módulo de elasticidade longitudinal, E, e o coeficiente de Poisson, ν.
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