Planos Tangentes e Retas Normais

Planos Tangentes e Retas Normais

O plano tangente no ponto P0(x0,y0,z0) na superfície de nível f(x,y,z) = c e o plano que passa por P0 e é normal ao gradiente de f em P0.

A reta normal a superfície em P0 e a reta que passa por P0 e é paralela ao gradiente de f em P0.

[pic 1]

        

Suponhamos que uma superfíie S seja o gráfico de uma equação F(x,y,z)=0 e que  F tenha derivadas parciais primeiras contínuas. Seja P0(x0,y0,z0) um ponto simultaneamente nulas. Uma Reta Tangente a S em P0 é, por definição, uma reta L tangente a qualquer curva C de S que contenha P0. Se C admite a parametrização.

X=f(t), Y=g(t), Z=h(t).

Para t em algum intervalo I e se r(t) é o vetor posição de P(x,y,z), então:

    r(t)=f(t)i+g(t)j+h(t)k.

Exemplo

[pic 2]

        

[pic 3]

Derivadas Direcionais no Plano

Suponha que f(x,y) seja definida em R (uma regiao no plano xy), que P0 = (x0,y0) seja um ponto em R e que u = u1i + u2 j seja um versor.

Então

x = x0 + s u1

y = y0 + s u2

parametrizam a reta que passa por P0 paralelamente a u.

Definição:

A derivada de f em P0(x0,y0) na direção do versor u e o numero desde que o limite exista.

[pic 4]

[pic 5]

Derivadas Direcionais

Se f(x,y) for diferenciavel em P0(x0,y0), então

[pic 6]

[pic 7]

Propriedades da Derivada Direcional

1. f cresce mais rapidamente na direção e no sentido do vetor gradiente em P.[pic 8]

2. f decresce mais rapidamente na direção e no sentido oposto do gradiente em P.

3. Qualquer direção u ortogonal ao gradiente e uma direção de variação zero

em f.

[pic 9]

 

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