Tangentes retas e secantes à curva

Curiosamente o conceito de derivada de uma função é posterior ao do de integral e bastante mais complicado. 

Sendo um limite de um quociente cujo denominador tende para zero requer , por vezes, bastante mais fundamentos de cálculo. 

Talvez seja essa  uma razão para que no sec. XVII, a noção de derivada que é sob o ponto de vista prático tão importante, não 

tenha deixado de  causar problemas a grandes matemáticos (Newton, Leibniz, Pascal, Fermat,...) sempre que pretenderam dar-lhe 

um certo rigor formal.  

Rectas tangentes e secantes a uma curva. Declive

Uma recta é secante a uma curva quando a intersecta ("corta") em 2 pontos distintos. È tangente à curva quando tem com ela um 

só ponto comum ("a toca num  só ponto"). 

O declive da recta secante ou da recta  tangente à  curva das figuras é o quociente entre BC (diferença entre as ordenadas) e AB 

(diferença ente as abcissas) : 

Variação média, ou razão incremental de uma função 

    Quando pretendemos calcular a velocidade média de uma viagem dividimos o número de quilómetros andados pelo tempo 

gasto a efectuar o percurso. O mesmo se passa com a variação média de uma função

Observando a fig. ao lado onde está representada uma função f(x), 

verifica-se que quando o valor de x aumenta de a para b a função 

f(x) também passa de f(a) para f(b). Portanto à variação de para b 

sucede a variação de f(a) para f(b). Para calcular a variação média 

da função basta fazer o quociente entre estas duas variações. No 

fundo estamos a calcular o declive da recta secante à curva em a e b

 

É, por exemplo, o que se passa quando se quer calcular a velocidade 

média de um móvel cuja trajectória é a curva f(x) 

 

  Na análise, esse quociente é sempre designado por razão incremental 

Podes modificar os pontos P e Q arrastando-os com o rato. Na 

parte superior (direita) vão-te aparecendo os valores do declive, 

do ângulo e da velocidade média 

EXERCÍCIOS

 

1.- Modifica Q arrastando-o com o rato e observa como variam os

declives das secantes, a velocidade média

  

Definição de derivada

Quando os dois pontos da curva se aproximam indefinidamente, a secante (recta 

que passa por esses dois pontos) acaba por transformar-se na tangente à curva no 

ponto a, ou seja calculamos o limite da razão incremental quando a distância entre 

os dois pontos tende para zero. 

Geometricamente, a derivada é o declive da recta r no ponto a quando h tende

para zero. por outras palavras: calcular a derivada duma função num ponto a

é determinar a tangente trigonométrica da tangente geométrica a curva nesse

ponto.

  Definição analítica. : f  é derivável em a  se existe                      e escreve-se  

 

outra forma menos usual de apresentar esta definição é

onde  representa o acréscimo da variável

 Do que foi visto anteriormente, a derivada duma função exprime o coeficiente de variação da função no ponto a. 

Como terás ocasião de verificar na vida prática raramente se recorre à definição  para calcular a derivada duma função . Tal 

tarefa é  facilitada pelas regras de derivação obtidas através da definição. No entanto é util tentes calcular uma ou outra derivada 

usando tão somente a definição.

Exemplo 1:

1- Determinar, usando a definição , a derivada de v(x) = x2

- x no ponto 3

Exemplo 2 :

Determinar a derivada da função  no ponto de coordenadas x=3.   Vamos seguir o seguintes passos