O Projeto da Aula

Determinante de uma matriz:

A cada matriz [pic 1] de ordem n, está associado um escalar especial chamado determinante de A, denotado por, [pic 2] ou [pic 3], ou [pic 4]

Salientamos que um quadro [pic 5] de escalares entre duas barras, chamado determinante de ordem n, não é uma matriz, denota o determinante da matriz entre aquelas duas barras.

Determinantes de ordem um, dois e três:

Definem-se como segue os determinantes de ordem um, dois e três:

i)        Se [pic 6] é uma matriz de ordem um, ou seja, [pic 7] então:

[pic 8]

ii)        Se [pic 9] é uma matriz de ordem dois, ou seja, [pic 10] então:[pic 11][pic 12]

[pic 13]

iii)        Se [pic 14] é uma matriz de ordem três, ou seja, [pic 15] então:

[pic 16]

        

[pic 17]

Exemplos:

        1)[pic 18]

        2) [pic 19]

        3) [pic 20]

Determinante de ordem arbitrária:

Se [pic 21] é uma matriz de ordem n, ou seja, [pic 22]então o seu determinante pode ser obtido por qualquer uma das expressões abaixo:

[pic 23] para algum k fixo tal que [pic 24]

ou,

[pic 25] para algum k fixo tal que [pic 26]

onde [pic 27] denota a matriz obtida da matriz A, eliminando-se a linha i e a coluna j.

Observações:

1. Chamamos a primeira expressão de cálculo do determinante da matriz A pela linha k,

e a segunda expressão de cálculo do determinante da matriz A pela coluna k.

2) O determinante de A independe da escolha da linha ou coluna pela qual se desenvolverá o cálculo.

3) Os determinantes de uma matriz e de sua transposta são iguais.

4) Se uma matriz A possui uma linha ou uma coluna nula então [pic 28]

5) Se uma matriz A possui duas linhas ou duas colunas iguais então [pic 29]

6) Se A é uma matriz com determinante nulo então A não é inversível.

Exemplo: Se [pic 30]então:[pic 31][pic 32]

[pic 33][pic 34][pic 35][pic 36]

=0[pic 37]

OU

|A|= = 0[pic 38]

2) Calcule o determinante da matriz

 [pic 39]

 = [pic 40]

[pic 41]

[pic 42][pic 43][pic 44][pic 45][pic 46][pic 47][pic 48][pic 49][pic 50][pic 51][pic 52]

[pic 53]

                                

=2(0+12+6-0+4-4) -1(0+0+4-0-12+0) =36-(-8)= 44

[pic 54]

Resolução de sistemas pela regra de Cramer

A solução de cada componente do vetor de incógnitas é dada pela relação de dois determinantes:    onde:[pic 55]

• [pic 56] =  determinante da matriz A
• [pic 57]= determinante da matriz A com a iésima coluna substituída pelo vetor independente b.

Exemplos: Resolva os sistemas pela regra de Cramer

1.                 A =                [pic 58][pic 59][pic 60]

                           [pic 61][pic 62][pic 63]

  e          🡺 S={(2,1)} SPD[pic 64][pic 65]

1.  =>   e [pic 66][pic 67][pic 68]

 =  = 16 -16+3 -48 -2+8 = -39                (Δ ≠ 0 SPD)[pic 69][pic 70]

 =  = -16 -8-30-24+2-80 =-156[pic 71][pic 72]

 =  = 40+8-6-120+4-4 = -78[pic 73][pic 74]

 =  = 8 +80-1+16+10+4 = 117[pic 75][pic 76]

,                                         S={(4,2,-3)}        SPD (1 solução)[pic 77][pic 78][pic 79]

1.  =>   e [pic 80][pic 81][pic 82]

        [pic 83]

 [pic 84]

  impossível SI🡺 S= {  }[pic 85]

[pic 86]

EXERCÍCIOS

1. Resolva os sistemas pela regra de Cramer:

1.                 [pic 87]
2.  [pic 88]

1. Resolva a equação matricial  usando a regra de Cramer.[pic 89]

1. Resolva o sistema  usando a regra de Cramer.[pic 90]
2. Resolva o sistema [pic 91]

 =         = 4 -1-1-1+2+2 = 5                SPD[pic 92][pic 93]

 =  = 6-3-6-3+3+12 = 9[pic 94][pic 95]

 =  = 24+3+3-6-6-6 = 12[pic 96][pic 97]

 =  = 6-6-3-3+12+3 = 9[pic 98][pic 99]

,                                 [pic 100][pic 101][pic 102]

Inverso           🡪 [pic 103][pic 104]

Oposto -2 é o oposto de 2 🡪 2+(-2) = 0

        

[pic 105]

Matrizes inversíveis:

Consideraremos apenas matrizes quadradas de ordem n. Consideremos então, a matriz quadrada de ordem n:

[pic 106]chamada matriz identidade de ordem n.