Conceito de integral ou Antiderivada

Conceito de integral ou Antiderivada

Veremos a seguir os conceitos de Integrais, porque elas recebem o nome de antiderivadas, também veremos os conceitos de integral definida e integral indefinida, todos esses conceitos ajudarão a entendermos melhor as derivadas que já estudamos e toda a problemática que será encontrada nas integrais e suas correlatas.

Primeiramente elas recebem o nome de Antiderivadas exatamente por serem o oposto da derivação, como será explicado abaixo com todas as funções, cálculos e gráficos necessários para podermos compreender melhor todos esses conceitos.

Veremos todas as variações encontradas entre todos os tipos de integrais que existem, as funções que encontraremos separadamente, como as funções primitivas, soma e diferenças de integrais, o que é integrando, todas as propriedades da funções, das integrais em si, veremos todas as possibilidades de operações dentro das integrais e todas suas funções e conceitos possíveis.

Os gráficos nos mostrarão as áreas que serão calculadas, geralmente vamos ver que temos que calcular área por área para que no fim tudo o que queremos chegar no final de nosso calculo será muito mais fácil de visualizar a partir de cada uma dessas áreas demostradas nos gráficos, então após calcular cada uma dessas áreas fica mais visível qual é a área que temos que fazer o calculo das integrais ou antiderivadas.

Integrais

Integrais indefinidas

1 . A adição é o oposto da subtração, assim como a multiplicação é o oposto da divisão, assim como a operação inversa da derivação é a.antiderivação ou integração indefinida.

Temos então uma função g(x), qualquer função f'(x) tal que f'(x) = g(x) é chamada integral indefinida ou antiderivada de f(x).

Exemplos:

1. Se f(x) = , então é a derivada de f(x). Uma das antiderivadas de f'(x) = g(x) = x4 é .

2. Se f(x) = x3, então f'(x) = 3x2 = g(x). Será então a antiderivadas ou integrais indefinidas de g(x) = 3x2 é f(x) = x3.

3. Se f(x) = x3 + 4, então f'(x) = 3x2 = g(x). Será então a antiderivadas ou integrais indefinidas de g(x) = 3x2 é f(x) = x3 + 4.

Os exemplos 2 e 3 nos mostram que tanto x3 quando x3+4 são integrais indefinidas para 3x2. A diferença entre quaisquer destas funções (chamadas funções primitivas) é sempre uma constante, ou seja, a integral indefinida de 3x2 é x3+C, onde C é uma constante real.

Propriedades das integrais indefinidas

As propriedades que podemos concluir logo de inicio são:

1ª. , ou seja, a integral da soma ou diferença é a soma ou diferença das integrais.

2ª. , ou seja, a constante multiplicativa pode ser retirada do integrando.

3ª. , ou seja, a derivada da integral de uma função é a própria função.

Integração por substituição

A expressão .

Se usarmos a substituição u=f(x) por u' = f'(x) ou , ou ainda, du = f'(x) dx, vem:

,

sabendo que se conhece .

Identificamos nesse método da substituição de variável de u e u' ou u e du na integral dada.

INTEGRAIS DEFINIDAS

Na função f(x) definida e contínua num intervalo real [a, b]. A integral definida de f(x), de a até b, é um número real, e é indicada pelo símbolo:

onde:

• a é o limite inferior de integração;

• b é o limite superior de integração;

• f(x) é o integrando.

Se representa a área entre o eixo x e a curva f(x),

para

Se representa a área entre as curvas,

para

Integrais

Os exemplos acima nos traz a área representada que é a integral definida, porém, em muitos casos, é uma das formas de se apresentar a integral definida.

De forma geral, para , a área limitada por f(x) e o eixo x, é dada

por ,que pode representar a soma das áreas de infinitos retângulos de

largura