Sistemas com duas equações

Sistemas com duas equações

Um sistema com duas equações lineares se apresenta por:

Onde e são as incógnitas.

Para solucioná-lo por substituição, substituem-se as variáveis em suas equações por seus polinômios correspondentes:

Portanto:

Método da soma

O método da soma é o mais direto para se resolverem os sistemas, pois é uma forma simplificada de usar o método da substituição. Só é possível quando as equações são dispostas de forma que, ao subtrair ou somar os polinômios das equações, todas as incógnitas, exceto uma, se anulam. É mais simples e direto que o outro método

Sistemas com duas equações

Para solucionar um sistema como o apresentado a seguir por soma, onde e são as incógnitas, deve-se subtrair os polinômios das equações.

O método da soma é possível apenas com determinadas incógnitas, dependendo das equações do sistema. Nesse caso, é possível apenas com uma. A outra deve ser determinada substituindo o valor descoberto para a

primeira incógnita em uma das equações do sistema.

Método da comparação

Consiste em compararmos as duas equações do sistema, após termos isolado a mesma variável (x ou y) nas duas equações. e as equações ficam mais detalhadas.

Fatorizações de matrizes

Os métodos mais utilizados computacionalmente para resolver sistemas lineares envolvem fatorizações de matrizes. O mais conhecido, a eliminação de Gauss, origina a fatoração LU. Resolver o sistema Ax=b é equivalente a resolver os sistemas mais simples Ly=b e Ux=6.

Regra de Cramer

A Regra de Cramer é um método resolver sistemas lineares utilizando determinantes.

Considere o sistema:

ax + by = e

cx + dy = f

Pela regra de Cramer:

x =

Dx

D

y =

Dy

D

Em que Dx é o determinante da matriz dos termos do sistema excluindo a linha dos coeficientes de x. Os coeficientes "e" e "f" devem ficar à esquerda da matriz, e os coeficientes "b" e "d" à direita. D é o determinante da matriz dos coeficientes das incógnitas.

Dx =

e b

f d

D =

a b

c d

Para calcular o y basta trocar o Dx pelo Dy, que deve ser calculado da mesma forma, calculando o determinante da matriz dos termos do sistema excluindo a coluna dos coeficientes de y. No caso de Dy, no entanto, a coluna contendo as constantes "a" e "c" fica à esquerda, enquanto a coluna com "e" e "f" fica à direita.

Dy =

a e

c f

Esse método serve para sistemas de qualquer tamanho, desde que o numero de incógnitas seja igual ao numero de equações. E muitas vezes esse método se mostra o caminho mais

facil para solução de um sistema.

Classificação de um sistema quanto ao número de soluções

Resolvendo o sistema:

Encontramos uma únicq solução: o par ordenado (3,5). Assim, dizemos que o sistema é possível (tem solução) e determinado (solução única).

No caso do sistema:

Verificamos que os pares ordenados (0,8), (1,7), (2,6), (3,5), (4,4), (5,3)... são algumas de suas infinitas soluções. Por isso, dizemos que o sistema é possível (tem solução) e indeterminado (infinitas soluções).

No sistema:

Verificamos que nenhum par ordenado satisfaz simultaneamente as equações. Portanto, o sistema é impossível (não tem solução).

Resumindo, um sistema linear pode ser:

a) Sistema Possível e Determinado (solução única);

b) Sistema Possível e Indeterminado (infinitas soluções);

c) Sistema Impossível (não tem solução).

Sistema normal

Um sistema é normal quando tem o mesmo número de equações (m) e de incógnitas (n) e o determinante da matriz incompleta associada ao sistema é diferente de zero.

Se m=n e det A 0, então o sistema é normal.

Regra de Cramer

Todo sistema normal tem uma única solução dada por:

em que i { 1,2,3,...,n}, D= det A é o determinante da matriz incompleta associada ao sistema, e Dxi é o determinante obtido pela substituição, na matriz incompleta, da coluna i pela coluna formada pelos termos independentes.

Discussão de um sistema linear

Se um sistema linear tem n equações e n incógnitas, ele pode ser:

a) Sistema Possível e Determinado (solução única), se D=det A 0; caso em

que a solução é única.

Exemplo:

m = n = 3

Então, o sistema é possível e determinado, tendo solução única.

b) Sistema Possível e Indeterminado (infinitas soluções), se D= Dx1 = Dx2 = Dx3 = ... = Dxn= 0, para n=2. Se n 3, essa condição só será válida se não houver equações com coeficientes das incógnitas respectivamente proporcionais e termos independentes não-proporcionais.