Função Potencia

Atps Etapa 3

Passo 1

Função Potência

________________________________________

Toda função do tipo y = x n, onde "n" é um número natural, é chamada Função Potência. São exemplos de funções potências:

• y = x2

• y = x3

• y = x4

e assim por diante.

O domínio de y = x n é o conjunto dos reais, porque sempre podemos calcular x n, independente do valor de "x".

Vamos analizá-la observando o gráfico y = x2 abaixo, onde "n" é um número par:

• para "x" positivo, o crescimento da função é cada vez mais rápido: para "x" no intervalo [1,2] temos "y" no intervalo [1,4]; para "x" no intervalo [2,3] temos "y" no intervalo [4,9]; para "x" no intervalo [3,4] temos "y" no intervalo [9,16]; e assim por diante.

• para "x" negativo, conforme "x" aumenta, isto é, aproxima-se de zero, a função decresce cada vez mais devagar: para "x" no intervalo [-4,-3] temos "y" no intervalo [16,9]; para "x" no intervalo [-3,-2] temos "y" no intervalo [9,4]; para "x" no intervalo [-2,-1] temos "y" no intervalo [4,1]; e assim por diante.

Observe que o gráfico para "x" negativo é uma reflexão do gráfico para "x" positivo.

Para o caso "n" ímpar, temos o gráfico abaixo.

• Faça uma análise similar ao caso "n" par.

Vamos agora olhar para o gráfico abaixo, onde aparece a função y = x n para diferentes valores de "n", e compará-las:

• Para "x" positivo, quanto maior o valor de "n", mais rápido cresce a função.

• E para "x" negativo, como se comporta a função?

Observe o intervalo [0,1] com atenção. A função de maior grau cresce mais devagar que a de menor grau. Vamos ver porque isso acontece, tomando como exemplo os pontos do gráfico com x = 1/2:

• para a função y = x2, se x = 1/2, y é igual a 1/4;

• para a função y = x3, se x = 1/2, y é igual a 1/8;

• para a função y = x4, se x = 1/2, y é igual a 1/16;

• para a função y = x5, se x = 1/2, y é igual a 1/32.

Funções Polinomiais

As equações polinomiais de 2° grau surgiram por volta de 809-833 d.C. por Al-Khowarizmi. Suas soluções são dadas por regraselementares para "completar o quadrado", aplicadas a exemplos específicos. Com base nesse método de completar o quadrado proposta por Al-Khowarizmi, podem-se encontrar as raízes de uma equação polinomial degrau 2, dada por , sendo seus coeficientes, a, b e c, números reais com a ≠ 0, conforme exemplos abaixo:

Divide-se toda expressão por a ≠ 0, obtendo-se:

Soma-se e subtrai-se o termo paracompletar o quadrado:

Extraindo-se a raiz quadrada de ambos os lados:

Estes são os exemplos das equações polinomiais de 2° grau.

3.1 Denição de Função Polinomial

Uma função polinomial f : R ! R de grau n é uma função da forma

y = f(x) = anx

n + an¡1x

n¡1 + : : : + a3x

3 + a2x

2 + a1x + a0;

onde

² n é o grau do polinômio;

² an; an¡1; : : : ; a3; a2; a1; a0 são constantes reais (an 6= 0);

² x é a variável independente1

;

² y = f(x) é a variável dependente.

3.2 Resultados Importantes

3.2.1 Identidade de Polinômios

Dois polinômios são ditos idênticos se os coecientes