Matemática Financeira

Matrizes e Determinantes

Matriz de ordem m x n : Para os nossos propósitos, podemos considerar uma matriz como sendo uma tabela retangular de números reais (ou complexos) dispostos em m linhas e n colunas. Diz-se então que a matriz tem ordem m x n (lê-se: ordem m por n)

Exemplos:

A = ( 1 0 2 -4 5) ® Uma linha e cinco colunas ( matriz de ordem 1 por 5 ou 1 x 5)

B é uma matriz de quatro linhas e uma coluna, portanto de ordem 4 x 1.

Notas:

1) se m = n , então dizemos que a matriz é quadrada de ordem n.

Exemplo:

A matriz X é uma matriz quadrada de ordem 3x3 , dita simplesmente de ordem 3 .

2) Uma matriz A de ordem m x n , pode ser indicada como A = (aij )mxn , onde aij é um elemento da linha i e coluna j da matriz.

Assim , por exemplo , na matriz X do exemplo anterior , temos a23 = 2 , a31 = 4 , a33 = 3 , a3,2 = 5 , etc.

3) Matriz Identidade de ordem n : In = ( aij )n x n onde aij = 1 se i = j e aij = 0 se i ¹ j .

Assim a matriz identidade de 2ª ordem ou seja de ordem 2x2 ou simplesmente de ordem 2 é:

A matriz identidade de 3ª ordem ou seja de ordem 3x3 ou simplesmente de ordem 3 é:

4) Transposta de um matriz A : é a matriz At obtida de A permutando-se as linhas pelas colunas e vice-versa.

Exemplo:

A matriz At é a matriz transposta da matriz A .

Notas:

4.1) se A = At , então dizemos que a matriz A é simétrica.

4.2) Se A = - At , dizemos que a matriz A é anti-simétrica.

É óbvio que as matrizes simétricas e anti-simétricas são quadradas .

4.3) sendo A uma matriz anti-simétrica , temos que A + At = 0 (matriz nula) .

Produto de matrizes

Para que exista o produto de duas matrizes A e B , o número de colunas de A , tem de ser igual ao número de linhas de B.

Amxn x Bnxq = Cmxq

Observe que se a matriz A tem ordem m x n e a matriz B tem ordem n x q , a matriz produto C tem ordem m x q .

Vamos mostrar o produto de matrizes com um exemplo:

Onde L1C1 é o produto escalar dos elementos da linha 1 da 1ª matriz pelos elementos da coluna1 da segunda matriz, obtido da seguinte forma:

L1C1 = 3.2 + 1.7 = 13. Analogamente, teríamos para os outros elementos:

L1C2 = 3.0 + 1.5 = 5

L1C3 = 3.3 + 1.8 = 17

L2C1 = 2.2 + 0.7 = 4

L2C2 = 2.0 + 0.5 = 0

L2C3 = 2.3 + 0.8 = 6

L3C1 = 4.2 + 6.7 = 50

L3C2 = 4.0 + 6.5 = 30

L3C3 = 4.3 + 6.8 = 60, e, portanto, a matriz produto será igual a:

Observe que o produto de uma matriz de ordem 3x2 por outra 2x3, resultou na matriz produto P

de ordem 3x3.

Nota: O produto de matrizes é uma operação não comutativa, ou seja: A x B ¹ B x A

DETERMINANTES

Entenderemos por determinante , como sendo um número ou uma função, associado a uma matriz quadrada , calculado de acordo com regras específicas .

É importante observar , que só as matrizes quadradas possuem determinante .

Regra para o cálculo de um determinante de 2ª ordem

Dada a matriz quadrada de ordem 2 a seguir:

• O determinante de A será indicado por det(A) e calculado da seguinte forma :

• det (A) =  A = ad - bc

Exemplo:

Ora, senx.senx + cosx.cosx = sen2x + cos2x = 1 ( Relação Fundamental da Trigonometria ) . Portanto, o determinante da matriz dada é igual à unidade.

Regra para o cálculo de um determinante de 3ª ordem ( Regra de SARRUS).

Para o cálculo de um determinante de 3ª ordem pela Regra de Sarrus, proceda da seguinte maneira:

1 - Reescreva abaixo da 3ª linha do determinante, a 1ª e 2ª linhas do determinante.

2 - Efetue os produtos em "diagonal" , atribuindo sinais negativos para os resultados à esquerda e sinal positivo para os resultados à direita.

3 - Efetue a soma algébrica. O resultado encontrado será o determinante associado à matriz dada.

Exemplo:

.2 3 5

.1 7 4

Portanto, o determinante procurado é o número real negativo. - 77.

Principais propriedades dos determinantes

P1) somente as matrizes quadradas possuem determinantes.

P2) o determinante de uma matriz e de sua transposta é igual: det(A) = det( At ).

P3) o determinante que tem todos os elementos de uma fila iguais a zero , é nulo.

Obs: Chama-se FILA de um determinante, qualquer LINHA ou COLUNA.

P4) se trocarmos de posição duas filas paralelas de um determinante, ele muda de sinal.

P5)