Gottfried Wilhelm Leibniz

Na Idade Moderna, descobertas independentes no cálculo foram feitas no início do século XVII no Japão por matemáticos como Seki Kowa, que expandiu o método de exaustão. Na Europa, a segunda metade do século XVII foi uma época de grandes inovações. O Cálculo abriu novas oportunidades na física-matemática de resolver problemas muito antigos que até então não haviam sido solucionados. Muitos matemáticos contribuíram para essas descobertas, notavelmente John Wallis e Isaac Barrow. James Gregory proveu um caso especial do segundo teorema fundamental do cálculo em 1668.

Coube a Gottfried Wilhelm Leibniz e a Isaac Newton recolher essas ideias e juntá-las em um corpo teórico que viria a constituir o cálculo. A ambos é atribuída a simultânea e independente invenção do cálculo. Leibnitz foi originalmente acusado de plagiar os trabalhos não publicados de Isaac Newton; hoje, porém, é considerado o inventor do cálculo, juntamente com Newton. Historicamente Newton foi o primeiro a aplicar o cálculo à física ao passo que Leibniz desenvolveu a notação utilizada até os dias de hoje, a notação de Leibniz. O argumento histórico para conferir aos dois a invenção do cálculo é que ambos chegaram de maneiras distintas ao teorema fundamental do cálculo.

Gottfried Wilhelm Leibniz: o inventor do cálculo, juntamente com Newton.

Quando Newton e Leibniz publicaram seus resultados, houve uma grande controvérsia de qual matemático (e portanto que país: Inglaterra ou Alemanha) merecia o crédito. Newton derivou seus resultados primeiro, mas Leibniz publicou primeiro. Newton argumentou que Leibniz roubou ideias de seus escritos não publicados, que Newton à época compartilhara com alguns poucos membros da Sociedade Real. Esta controvérsia dividiu os matemáticos ingleses dos matemáticos alemães por muitos anos. Um exame cuidadoso dos escritos de Leibniz e Newton mostra que ambos chegaram a seus resultados independentemente, com Leibniz iniciando com integração e Newton com diferenciação. Nos dias de hoje tem-se que Newton e Leibniz descobriram o cálculo independentemente. Leibniz, porém, foi quem deu o nome cálculo à nova disciplina, Newton a chamara de "A ciência dos fluxos".

Desde o tempo de Leibniz e Newton, muitos matemáticos contribuíram para o contínuo desenvolvimento do cálculo.

Idade contemporânea[editar | editar código-fonte]

Maria Gaetana Agnesi

Na Idade Contemporânea, já no século XIX, o cálculo foi abordado de uma forma muito mais rigorosa. Foi também durante este período que ideias do cálculo foram generalizadas ao espaço euclidiano e ao plano complexo. Lebesgue mais tarde generalizou a noção de integral. Sobressaíram matemáticos como Cauchy, Riemann, Weierstrass e Maria Gaetana Agnesi. Esta foi autora da primeira obra a unir as ideias de Isaac Newton e Gottfried Wilhelm Leibniz; escreveu também um dos primeiros livros sobre cálculo diferencial e integral 1 . É dela também a autoria da chamada "curva de Agnesi".

Princípios[editar | editar código-fonte]

Limites e Infinitesimais[editar | editar código-fonte]

Ver artigo principal: Limite

O cálculo é comumente utilizado pela manipulação de quantidades muito pequenas. Historicamente, o primeiro método de utilizá-lo era pelas infinitesimais. Estes objetos podem ser tratados como números que são, de alguma forma, "infinitamente pequenos". Na linha numérica, isso seria locais onde não é zero, mas possui "zero" de distância de zero. Nenhum número diferente de zero é um infinitesimal, porque sua distância de zero é positiva. Qualquer múltiplo de um infinitesimal continua sendo um infinitesimal. Em outras palavras, infinitesimais não satisfazem a propriedade arquimediana. Deste ponto de vista, o cálculo é uma coleção de técnicas para manipular infinitesimais. Tal pensamento foi ignorado no século XIX porque era muito difícil ter a noção precisa de uma infinitesimal. Entretanto, o conceito foi reutilizado no século XX com a introdução da análise não padronizada, a qual propiciou fundamentos sólidos para a manipulação de infinitesimais

No século XIX, as infinitesimais foram substituídas pelos limites. Limites descrevem o valor de uma função em um certo ponto em termos dos valores de pontos próximos. Eles capturam o comportamento numérico em baixa escala, como nas infinitesimais, mas utilizando números ordinários. Deste ponto de vista, calculo é uma coleção de técnicas para a manipulação de certos limites. As infinitesimais foram substituídas por números muito pequenos, e o comportamento infinitamente pequeno da função é encontrado pelo limite de números cada vez menores. Limites são fáceis de serem colocados em fundações rigorosas e, por esse motivo, são a abordagem padrão para o cálculo.

Derivadas[editar | editar código-fonte]

Ver artigo principal: Derivada

Reta tangente em (x, f'(x)).

O cálculo diferencial é o estudo da definição, propriedade e aplicações da derivada ou deslocamento de um gráfico. O processo de encontrar a derivada é chamado "diferenciação". Em linguagem técnica, a derivada é um operador linear, o qual forma uma nova função a partir da função original, em que cada ponto da nova função é o deslocamento da função original.

O conceito de derivada é fundamentalmente mais avançado do que os conceitos encontrados em álgebra. Nessa matéria, os estudantes aprendem sobre funções em que o número de entrada gera um número de saída. Por exemplo, se no dobro da função é inserido 3, então a saída é 6, enquanto se a função é quadrática, e é inserido 3, então a saída é 9. Mas na derivada, a entrada é uma função e a saída é outra função. Por exemplo, se na derivada é colocada uma função quadrada, então a saída é o dobro de uma função, porque o dobro da função fornece o deslocamento da função quadrática em qualquer ponto dado da função.

Para entender a derivada, os estudantes precisam aprender a notação matemática. Na notação matemática, um símbolo comum para a derivada da função é um sinal de apóstrofo chamado "linha". Então a derivada de f é f ' (f linha). Isso em notação matemática seria escrito assim:Na Idade Moderna, descobertas independentes no cálculo foram feitas no início do século XVII no Japão por matemáticos