Trabalho

Centro Universitário do Planalto de Araxá – UNIARAXA

Disciplina: Cálculo III

Professor: Carlos Silva

Assunto: Integral dupla

1. Definição:

Considere a função  definida em uma região fechada e limitada R do plano , como mostra a figura 1.[pic 1][pic 2]

[pic 3]

Figura 1

Traçando retas paralelas aos eixos x e y, respectivamente, recobrimos a região R por pequenos retângulos, conforme a figura 2 a seguir:

[pic 4]

Figura 2

1. Interpretação Geométrica da Integral Dupla.

Suponhamos que  seja maior ou igual a zero sobre R. Observando a figura 3, vemos que o produto[pic 5]

[pic 6]

representa o volume de um prisma reto, cuja base é o retângulo  e cuja altura é .[pic 7][pic 8]

[pic 9]

Figura 3

A soma de Riemann

.[pic 10]

Representa uma aproximação do volume da porção do espaço compreendida abaixo do gráfico de   e acima da região R do plano xy.[pic 11]

Assim, quando  , a  nos dá o volume do sólido delimitado superiormente pelo gráfico de , inferiormente pela região R e lateralmente pelo cilindro ‘vertical’ cuja base é o contorno de R (ver figura 4).[pic 12][pic 13][pic 14]

[pic 15]

Figura 4

1. Calculo de integrais duplas.

Quando temos uma região de integração de um dos seguintes tipos:

[pic 16]

[pic 17]

Podemos calcular as integrais duplas de uma forma bastante simples, por mio de duas integrações sucessivas.

Tipo I, ilustrado pela figura 5:

[pic 18]

Figura 5

Neste caso , a integral  dupla

[pic 19]

é calculada por meio da seguinte integral, dita iterada:

[pic 20]

Tipo II, ilustrado pela figura 6:

[pic 21]

Figura 6

Neste caso , de modo análogo ao 1º caso, temos

=[pic 22][pic 23]

Exemplo: Calcular o volume do sólido delimitado superiormente pelo gráfico de , inferiormente pela região R delimitada por   e lateralmente pelo cilindro vertical cuja a base é o contorno de R.[pic 24][pic 25]

[pic 26]

1. Exercícios

1. Calcular , onde:[pic 27]

1. , R é o retângulo[pic 28][pic 29]
2. , R é o retângulo[pic 30][pic 31]
3. , R é o retângulo[pic 32][pic 33]
4. , R é o retângulo[pic 34][pic 35]

1. Esboçar a região de integração calcular as integrais.

1. [pic 36]
2. [pic 37]
3. [pic 38]
4. [pic 39]

1. Calcular  onde R é o retângulo .[pic 40][pic 41]
2. Calcular  onde R é a região delimitada por .[pic 42][pic 43]
3. Calcular  onde R é a região delimitada por .[pic 44][pic 45]
4. Calcular  onde R é a região delimitada por .[pic 46][pic 47]
5. Calcular  onde R é a região limitada por .[pic 48][pic 49]