Matematica

COLÉGIO PEDRO II - CAMPUS SÃO CRISTÓVÃO III

APROFUNDAMENTO DE MATEMÁTICA – ENEM – 2013

PROFESSORES: MARIA HELENA BACCAR / WALTER TADEU

ALUNO (A): ___________________________________________

AULA 20: Geometria Espacial II - GABARITO

1. (ENEM) Uma editora pretende despachar um lote de livros, agrupados em 100 pacotes de 20cm x 20cm x 30cm. A transportadora acondicionará esses pacotes em caixas com formato de bloco retangular de 40cm x 40cm x 60cm. A quantidade mínima necessária de caixas para esse envio é:

a) 9 b) 11 c) 13 d) 15 e) 17

Solução. Cada pacote tem volume Vp = (20).(20).(30) = 12000cm3. Cada caixa que acondicionará os pacotes possui volume Vc = (40).(40).(60) = 96000cm3. Em cada caixa cabem 96000 ÷ 12000 = 8 pacotes de livros. Como são 100 pacotes, serão necessárias 100 ÷ 8 = 12,5. Logo, 13 caixas no mínimo.

2. (ENEM) Os três recipientes da figura têm formas diferentes, mas a mesma altura e o mesmo diâmetro da boca. Neles são colocados líquidos até a metade de sua altura, conforme indicado nas figuras. Representando por V1, V2 e V3 o volume de líquido em cada um dos recipientes, tem-se:

a) b) c)

d) e)

Solução. No volume V1 o líquido está em um cone de base com raio r e altura H. Repare que H = R.

Como . .

O volume V2 representa uma semiesfera de raio R. .

O volume V3 representa um cone de raio de base R e altura H. .

Comparando, temos: V3 < V2 < V1.

3. (ENEM) Uma artesã confecciona dois diferentes tipos de vela ornamental a partir de moldes feitos com cartões de papel retangulares de 20cm x 10cm (conforme ilustram as figuras abaixo). Unindo dois lados opostos do cartão, de duas maneiras, a artesã forma cilindros e, em seguida, os preenche completamente com parafina. Supondo-se que o custo da vela seja diretamente proporcional ao volume de parafina empregado, o custo da vela do tipo I, em relação ao custo da vela do tipo II, será:

a) o triplo b) o dobro c) igual d) a metade e) a terça parte

Solução. Construindo os cilindro do Tipo 1 e do Tipo 2 calculando o raio da base comparando com a largura do retângulo, temos:

;

.

O custo da vela do tipo I, em relação ao custo da vela do tipo II, será o dobro.

4. (ENEM) Uma fábrica produz velas de parafina em forma de pirâmide quadrangular regular com 19cm de altura e 6cm de aresta da base. Essas velas são formadas por 4 blocos de mesma altura — 3 troncos de pirâmide de bases paralelas e 1 pirâmide na parte superior —, espaçados de 1cm entre eles, sendo que a base superior de cada bloco é igual à base inferior do bloco sobreposto, com uma haste de ferro passando pelo centro de cada bloco, unindo-os, conforme a figura. Se o dono da fábrica resolver diversificar o modelo, retirando a pirâmide da parte superior, que tem 1,5cm de aresta na base, mas mantendo o mesmo molde, quanto ele passará a gastar com parafina para fabricar uma vela?

a) 156 cm3 b) 189 cm3 c) 192 cm3 d) 216 cm3 e) 540 cm3.

Solução. Os blocos se encaixam caso sejam retirados os espaçamentos de 1cm. Logo a altura real da vela seria de H = (19 – 3) = 16cm. Como cada bloco possui a mesma altura, a pirâmide da parte superior possui altura h = 16 ÷ 4 = 4cm e área da base igual a (1,5).(1,5) = 2,225cm2. O volume final pedido será a diferença entre o volume da vela inicial e o volume da parte retirada.

.

5. (ENEM) Eclusa é um canal que, construído em águas de um rio com grande desnível, possibilita a navegabilidade, subida ou descida de embarcações. No esquema abaixo, está representada a descida de uma embarcação, pela eclusa do porto Primavera, do nível mais alto do rio Paraná até o nível da jusante. A câmara dessa eclusa tem comprimento aproximado de 200m e largura igual a 17m. A vazão aproximada da água durante o esvaziamento da câmara é de 4.200m3 por minuto. Assim, para descer do nível mais alto até o nível da jusante, uma embarcação leva cerca de:

a) 2 minutos b) 5 minutos

c) 11 minutos d) 16 minutos

e) 21 minutos.

Solução. A forma câmara é de um paralelepípedo retângulo de medidas 200m x 17m x 20m.

O volume é (200).(17).(20) = 68000m3.

Temos:

.

6. (ENEM) Um fabricante de brinquedos recebeu o projeto de uma caixa que deverá conter cinco pequenos sólidos, colocados na caixa por uma abertura em sua tampa. A figura representa a planificação da caixa, com as medidas dadas em centímetros. Os sólidos são fabricados nas formas de

I. um cone reto de altura 1cm e raio da base 1,5cm.

II. um cubo de aresta 2cm.

III. uma esfera de raio 1,5cm.

IV. um paralelepípedo retangular reto, de dimensões 2cm, 3cm e 4cm.

V. um cilindro reto de altura 3cm e raio da base 1cm.

O fabricante não aceitou o projeto, pois percebeu que, pela abertura dessa caixa, só poderia colocar os sólidos dos tipos:

a) I, II e III b) I, II e V c) I, II, IV e V d) II, III, IV e V e) III, IV e V

Solução. Após as dobras a caixa