MÚLTIPLOS E DIVISORES DE UM NÚMERO NAUTAL

Divisores e múltiplos de números naturais

1. Múltiplo de um número natural

Para fazer certo uniforme, Solange utiliza 3m de tecido.

Se Solange costurar:

• 2 uniformes, ela vai utilizar 6m de tecido, pois 2 . 3 = 6
• 3 uniformes, ela vai utilizar 9m de tecido, pois 3 . 3 = 9
• 4 uniformes, ela vai utilizar 12m de tecido, pois 4 . 3 = 12

• 10 uniformes, ela vai utilizar 30m de tecido, pois 10 . 3 = 30
• 11 uniformes, ela vai utilizar 33m de tecido, pois 11 . 3 = 33

Note que os números 6, 9, 12, 30 e 33 podem ser representados por uma multiplicação de um número natural por 3. Assim dizemos que esses números são múltiplos de 3.

Veja outros exemplos:

18 = 6 . 3

Nesse caso dizemos que 18 é múltiplo de 6 ou ainda que 18 é múltiplo de três.

72 = 8 . 9

Nesse caso, dizemos que 72 é múltiplo de 8 ou ainda que 72 é múltiplo de 9.

[pic 1]

Mínimo múltiplo comum

Múltiplos de 3:..........................................................................................................

Múltiplos de 2:...................................................................................................................................

[pic 2]

        O mmc pode ser utilizado para resolver situações como a apresentada a seguir:

[pic 3]

Atividades:

1. Escreva uma multiplicação para resolver cada problema.

1. Maria trabalha como diarista e recebe R$45,00 por dia. Quantos reais Maria recebeu em um mês em que trabalhou 22 dias?

1. Quantas moedas estão apresentadas abaixo?

[pic 4]

1. Para preparar um sundae, certa sorveteria oferece 9 tipos de cobertura e 6 sabores de sorvete. Quantas combinações podem ser feitas no preparo do sundade usando uma cobertura e um sabor de sorvete?

De acordo com as multiplicações que você escreveu, complete os espaços ........  pelo número adequado.

1. ......... é múltiplo de 45 e de 22, pois 45 . 22 = ...........
2. ......... é múltiplo de 8 e de 12, pois 8 . 12 = .............
3. ......... é múltiplo de 9 e de 6, pois 9 .6 = ................

1. Observe a sequencia dos 10 primeiros múltiplos de 16, de 18 e de 24.

Múltiplos de 16: 0, 16, 32, 48, 64, 80, 96, 112, 128, 144,....

Múltiplos de 18: 0, 18, 36, 54, 72, 90, 108, 126, 144, 162,....

Múltiplos de 24: 0, 24, 48, 72, 96, 120, 144, 168, 192, 216,.....

Agora determine:

1. mmc(16, 18)

1. mmc(16,24)
   
   
2. mmc(18,24)
   
   
3. mmc(16,18,24)

1. Calcule:

1. mmc(14,21)
   
   
   
2. mmc(15,20)

1. Divisores de um número natural

Em um curso de informática, a professora pode trabalhar com 12 alunos de uma turma individualmente ou em grupos com a mesma quantidade de alunos de maneira que não fique nenhum aluno sem grupo. Quais as possibilidades que esta professora tem?

Note que a professora pode trabalhar com os alunos individualmente ou em grupos com.................................................... alunos sem que nenhum aluno fique sem grupo. Como a divisão de 12 por esses números é exata, dizemos que 12 é divisível por esses números.

Assim, ................................................. são os divisores de 12.

Podemos verificar se um número natural qualquer é múltiplo de outro por meio de uma divisão. Vamos verificar, por exemplo, se 258 é múltiplo de 6.

Pela divisão, verificamos que existe um número natural que multiplicado por 6 resulta em 258, isto é, 6 . 43 = 258. Assim, 258 é múltiplo de 6.

Note também que a divisão é exata e, dessa forma, podemos dizer que 258 é divisível por 6.

• Critérios de divisibilidade

Vimos anteriormente como verificar se um número é divisível por outro realizando divisões. Agora estudaremos alguns critérios de divisibilidade, isto é, métodos para verificar se um número é divisível por 2, 3, 4, 5, 6, 9 e 10 sem fazer muitos cálculos.

• Divisibilidade por 2

[pic 5]    [pic 6]   [pic 7]    [pic 8]

 Um número natural é divisível por 2 quando esse número for par, ou seja, quando o último algarismo for 0,2,4,6 ou 8.

• Divisibilidade por 3 e por 9

1. [pic 9]     b)  [pic 10]    c) [pic 11]     d)   [pic 12]

Observe que as divisões que aparecem em a e c são exatas, e as somas dos valores absolutos dos algarismos de 231 (2+3+1=6) e de 102 (1+0+2=3) são números múltiplos de 3. Já em b e d as divisões não são exatas e as somas dos valores absolutos dos algarismos de 313 (3+1+3=7) e de 542 (5+4+2=11) os resultados não são múltiplos de 3.

Um número natural é divisível por 3 quando a soma dos valores absolutos dos seus algarismos for um número múltiplo de 3.

 De maneira semelhante, podemos verificar se um número natural é divisível por 9.

                                [pic 13]                        [pic 14]

Observe que 846 (8+4+6=18) que é um múltiplo de 9 e portanto a divisão é exata. O mesmo não acontece com o número 564 (5+6+4=15) a soma absoluta não resulta em um número múltiplo de 9.

 Um número natural é divisível por 9 quando a soma dos valores absolutos dos seus algarismos for um número múltiplo de 9.

• Divisibilidade por 4

[pic 15]

Note que a divisão do número 716 é exata, e os dois últimos algarismos do número 716 formam o número 16, que é múltiplo de 4. Já a divisão do 421 não é exata, pois os últimos algarismos formam o número 21 que não é múltiplo de 4.

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