Teorema De Pitagoras

Demonstrações do Teorema de Pitágoras

1. A demonstração por semelhança de triângulos

Seja dado um triângulo retângulo ABC de cateto b e c e hipotenusa a. A altura AH, relativa à base BC, dividi esse triângulo em dois outros: BHA e CHA. Como os ângulos agudos de um triângulo retângulo somam 90º, segue os triângulos retângulos ABC, HBA e HAC possuem os mesmos ângulos, logo são semelhantes.

Da semelhança ΔABC ~ ΔHBA obtemos:

BC/BA = BA/BH => a/c = c/m => c² = ma.

Da semelhança ΔABC ~ ΔHAC obtemos:

BC/AC = AC/HC => a/b = b/n => b² = na.

Logo temos:

b² + c² = na + ma

b² + c² = (n + m)a

b² + c² = a . a

b² + c² = a²

2. Demonstração do quadrado chinês

Uma das demonstrações mais elegantes do Teorema é conhecida como a demonstração do quadrado chinês. Dado um triângulo retângulo de catetos a e b e hipotenusa c, construímos dois quadrados de mesmo lado a+b. Em cada um desses quadrados dispomos quatro cópias do triângulo retângulo, como na figura abaixo (em vermelho). A soma das áreas remanescentes do primeiro quadrado (em amarelo e verde) é igual à área remanescente do segundo quadrado (em azul). Portanto a2+b2=c2.

3. Demonstração pela prova de Bháskara

Bháskara foi um matemático Hindu que não ofereceu nenhuma explicação além de uma palavra de significado “veja” ou “contemple”, talvez sugerindo que em seu diagrama a disposição induzia a uma bela prova do teorema de Pitágoras.

Procedendo de modo análogo a figura que aparece no “Chou-pei”, mais de forma geral, construindo os triângulos retângulo com hipotenusa c e catetos a e b.

No interior encontramos um quadrado

de lado a-b. Temos por área que:

c² = (a-b)² + 4ab/2

c² = a² - 2ab + b² + 2ab

c² = a² + b²