A Constante Matemática E

1 INTRODUÇÃO

O desígnio do trabalho é explicitar o número de Euler, instituído por Leonhard Euler um grandioso matemático, que desenvolveu cálculos em sua época os quais, de quão importantes, são empregados até o presente.

O número de Euler é uma constante matemática que engloba cálculos de nível superior, empregado, a título de exemplo, em: Cálculo de diferenciais e integradas.

2 O NÚMERO DE EULER

O número de Euler é assim chamado em homenagem ao matemático Suiço Leonhard Euler, é à base dos logaritmos naturais.

As variantes do nome do número incluem: número de Napier, constante de Néper, número neperiano, constante matemática e número exponencial, etc. A primeira referência à constante foi publicada em 1618 na tabela de um apêndice de um trabalho sobre logaritmos de John Napier. No entanto, este não contém a constante propriamente dita, mas apenas uma simples lista de logaritmos naturais calculados a partir desta. A primeira indicação da constante foi descoberta por JakobBernoulli, quando tentava encontrar um valor para a seguinte expressão (muito comum no cálculo de juros compostos):

e = lim┬(n→∞)⁡〖(1+1/n)^n 〗

E vale aproximadamente 2,718 281 828 459 045 235 360 287.

O número também pode ser escrito como a soma da série infinita:

e= ∑_(n=0)^∞▒1/n!= 1/0!+ 1/1!+ 1/2!+ 1/3!+ 1/4!+ ...

Aqui n! representa o fatorial de n. Pode-se ainda definir e como sendo o único número x > 0 tal que:

ln⁡〖x= 〗 ∫_1^x▒dt/t=1

O número e apresenta um interesse particular porque pode-se demonstrar que

Para todo real x, exp(x) = ex (e na potência x);

Assim, por exemplo, tem-se:

exp(3) = e X e X e = e³

ou ainda

exp⁡(–4)=1/e X 1/e X 1/e X 1/e= (1/e)^4=e^(-4)

O número e é um número irracional e mesmo transcendente (como pi). A irracionalidade de e foi demonstrada porLambert em 1761 e mais tarde por Euler. A prova da transcendência de e foi estabelecida por Hermite em 1873.

Conjecturou-se que e é um número normal ou aleatório.

Ele aparece (com outras constantes fundamentais) na identidade de Euler:

e^iπ+1=0

O desenvolvimento da fração contínua de e pode ser escrito sob a forma interessante:

Leonhard Euler começou a usar a letra e para representar a constante em 1727, e o primeiro uso de e foi na publicação Euler’s Mechanica (1736). As verdadeiras razões para escolha da letra e são desconhecidas, mas talvez seja porque e seja a primeira letra da palavra exponencial.

Tem ainda a remarcável propriedade que a taxa de variação de ex no ponto x = t vale et daí sua importância no cálculo diferencial e integral, e seu papel único como base do logaritmo natural.

Ou