A Geometria Plana

Questão 1

1 Em um plano são dados em torno de um ponto os ângulos adjacentes 𝑎̂, 𝑏̂, 𝑐̂, 𝑑̂ que recobrem todo o plano. Sabemos que os ângulos adjacentes 𝑎̂ e 𝑏̂ tem medidas 52° e 119°, respectivamente. Qual a medida do ângulo formado pelas bissetrizes dos ângulos 𝑐̂e 𝑑̂.

Resposta 1

 Se os quatro ângulos (a, b, c e d) estão em um plano, ao redor de um mesmo ponto e são adjacentes, significa que a soma desses ângulos forma uma volta completa no ponto, ou seja, 360º.

Então:

a + b + c + d = 360

Sabemos que a = 52° e b = 119°. Logo:

52 + 119 + c + d = 360

171 + c + d = 360

c + d = 360 - 171

c + d = 189

A bissetriz de c é c/2.

A bissetriz de d é d/2.

Logo:

 c  +  d  = (c + d) = 189 = 94,5°

 2     2         2          2

Resposta 2

Como a, b, c e d são adjacentes e, a = 52º e b = 119º. Assim:

a + b = 52º + 119º

a + b = 171º

como todo o plano mede 360º, assim:

a + b + c + d = 360º

171º + c + d = 360º

c + d = 360º - 171º

c + d = 189º

como as bissetrizes de c e d dividem esses ângulos ao meio e, como c + d = 189º, logo devemos ter 189º/2 = 94,5º, que é a medida procurada

A medida do ângulo formado pelas bissetrizes dos ângulos c e d é 94,5°

Questão 2

 Considere quatro semirretas que partem de uma mesma origem. Mostre que se os ângulos não são todos iguais, ao menos um deles é agudo e ao menos um deles é obtuso

Resposta 1

 Temos um ângulo obtuso (maior que 90º) e um ângulo agudo (menor que 90º).

Inicialmente, devemos ter em mente que a circunferência possui 360º. Vamos considerar que as semirretas possuem mesmo ângulo. Como temos quatro semirretas, nessa situação, o ângulo entre cada uma delas seria 90º.

Agora, vamos alterar a inclinação de um semirreta, pois temos a informação que os ângulos não são todos iguais. Ao aumentar um ângulo, consequentemente o ângulo adjacente irá diminuir. Como estamos partindo de 90º, vamos ter um ângulo maior que 90º (obtuso) e um ângulo menor que 90º (agudo).

Questão 3

 Em um triângulo ABC são dados 𝑚(𝐴𝐵̂𝐶) = 72°21′ e 𝑚(𝐴𝐶̂𝐵) = 47°39′. Calcule a medida do ângulo formado pela bissetriz interna do ângulo 𝐴𝐵̂𝐶 com a bissetriz do ângulo externo do vértice C.

Resposta 1

O ângulo é de 30°.

Primeiro, vamos calcular a medida do ângulo externo do vértice C.

Esse ângulo forma, junto com 47°39', um ângulo raso, de 180°. Logo:

y + 47°39 = 180°

y = 180° - 47°39'

y = 132°21'

A bissetriz dividi esse ângulo na metade. Logo:

133°01' ÷ 2 = 66°10,5'

A bissetriz interna do ângulo aBc o divide na metade. Logo:

72°21' ÷ 2 = 36°10,5'

A soma dos ângulos internos de um triângulo é 180°. Logo:

36°10,5' + 66°10,5' + 47°39' + x = 180°

102°21' + 47°39' + x = 180°

149°60' + x = 180°

150° + x = 180°

x = 180° - 150°

x = 30°

[pic 1]

Resposta 2

Explicação passo-a-passo:

Temos que o ângulo ACB ou simplesmente C = 47º39', chamando o ângulo externo a C de Ae, então:

Ae + C = 180º

Ae + 47º39' = 180º

Ae = 180º - 47º39'

Ae = 179º60' - 47º39'

Ae = 132º21'

Ae = 132º20'60"

Temos que ABC ou simplesmente B = 72º21' => B = 72º20'60"

Como a bissetriz BD divide B em duas partes iguais a B/2 = 36º10'30". A bissetriz CF divide o ângulo Ae em duas partes iguais a Ae/2 = 66º10'30". Sendo G o ângulo formado  por BD e CF, então, de acordo com o triângulo BCG (ver imagem em anexo), temos que:

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