Aplicacao da integracao

Índice

Introdução        

Aceleração, velocidade e posição        

Aplicações da integral definida        

Conclusão        

Bibliografia        

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Introdução

O presente trabalho vai abordar a cerca do cálculo da velocidade, aceleração e deslocamento usando a integração definida.

Portanto vai se desenvolver consoante as regras de integração estabelecendo a relação existente entre a aceleração, velocidade e o deslocamento.

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Aplicação da integração definida

Aceleração, velocidade e posição

Aceleração, velocidade e posição de uma partícula pode ser obtida utilizando directamente o teorema fundamental do calculo.

Suponhamos que uma partícula move-se ao longo do gráfico da função segunda derivada continua x (t) com velocidade v = v (t), de classe C e aceleração, a = a(t) em cada instante t. A aceleração da partícula é a (t) =. Pelos teoremas[pic 1]

[pic 2]

Então

V (t)[pic 3]

Logo, conhecendo a aceleração e a velocidade inicial da partícula, podemos obter a velocidade em cada instante t .a velocidade da partícula é v(t).Pelo teorema ː[pic 4]

[pic 5]

   x(t)[pic 6][pic 7]

Aplicações da integral definida.

1-A trajectória percorrido por ponto. Se um ponto se move sobre uma curva e a grandeza absoluta da sua velocidade v=f(t) é uma função conhecido do tempo t, o espaço percorido em um intervalo de tempo {t1,t2} sera iguala:

S=. [pic 8]

Exemplo: A velocidade de um ponto é igual v=0,1[pic 9]

Achar o espaço s, percorrido pelo ponto durante um intervalo de tempo t=10s transcorrido desde o inicio do seu movimento. A que será a velocidade media do movimento durante este intervalo?

S=[pic 10]

D (t)  chamada o deslocamento da partícula. logo, conhecendo a velocidade e a posição inicial da partícula, podemos obter sua posição em cada instante a t)= ao, para todo t. é comum nas aplicações considerar que o tempo inicial seja to = o. Denotando a velocidade e posição inicial respectivamente por v(o) = xo, obtemos[pic 11]

De (1)ːv(t)[pic 12]

Logo,

                                                X(t)=+vot+xo.[pic 13]

Neste caso, conhecendo a velocidade e a posição inicial da particular obtemos sua trajectória.

No deslocamento vertical de uma partícula, escolhemos o eixo dos y do sistema de corte nadas para a posição. Consideramos para cima a parte positiva do eixo dos y. o efeito da gravidade na partícula é diminuir a altura bem como a sua velocidade. Desprezando a resistência do ar, a aceleração é constante a(t)=-g,onde g=-9,8m/ é a aceleração habitacional na superfície da terra. Então:[pic 14]

V(t)=-9.8t+ vo e x(t)=-4.9+vot+xo,[pic 15]

X(t) medindo em metros.

Exemplo:

 Velocidade de um foguete é de 1000km/h após os primeiros 30segde seu lançamento. Determine a distância percorrida pelo foguete.

Primeiramente fizemos a conversão de km/h para m/Seg. multiplicando pela fracção , donde obtemos:[pic 16]

Aosm/=9.259m/.[pic 17][pic 18][pic 19]

Vo=o; logo v(t)=9.259t e obtemos: D(30)=9.259=4166,5m.o foguete nos primeiros 30seg percorre uma distancia de 4166.5m.[pic 20]

(!) Se uma bola é jogada directamente para cima a partir do chão com velocidade inicial de 96m/seg. Determine o seu deslocamento.

Primeiramente, xo=o e vo=96; logo, v(t)=-9.8t+96. A bola atinge sua altura máxima quando v=o; a altura máxima é atingida no tempo: t==9.79seg.logo, x(9.79)=-4.9+96[pic 21][pic 22][pic 23]

As ideias dos neutrões tangente 2 normal. Assim como a de curvatura pode ser usada na física para estudar o movimento dos objectos sua velocidade e sua aceleração quando este se move ao longo de uma curva especial. Em particular seguirmos os passos de Newton usando seu método para derivar a primeira lei de kepler para o movimento planetário suponha que uma partícula se move no espaço de forma que seu vector posição no instante t seja r(t).

Para pequenos valores de h, o vetor .[pic 24]

Depois ao 2- v(t)=[pic 25]

Se aproxime da direcção de movimento de partícula que se move ao longo de curva v(t). seu modulo mede o tamanho do vector deslocamento por unidade do tempo. O vector 1 fornece a velocidade media no intervalo do tempo de comprimento h e seu limite é o vector velocidade v(t) no instante t.

O vector velocidade é também o vector tangente e tem a direcção da recta tangente a curva.

A rapidez da partícula no instante t é o modulo do vector velocidade, ou seja ] v(t) ], ]x(t)]=]r(t)]= taxa de variação da distancia em relação  ao tempo como no caso do movimento unidimensional a aceleração da partícula é definida como a derivada da velocidade; [pic 26][pic 27]

Exemplo 1 : o vector de posição de um objecto se movendo em um plano é dado por r(t)=+ [pic 28][pic 29]

Determine a velocidade, a rapidez e aceleração do objecto no instante t=1 e ilustre geograficamente.

[pic 30]

Figura1: fonte Bongolos

Solução: v (t)= 3[pic 31][pic 32]

                                       a(t)= [pic 33]

e a rapidez |v(t)|=[pic 34]

Quando t=1 temos v (1) =3i+2j a (1) =6i+2j|v (1) |=[pic 35]

Exemplo2: [pic 36]

 Determine a velocidade, aceleração e a rapidez de uma partícula com vector de posição r(t)=( [pic 37]