Aplicação de Vetores na Geometria Analítica

[pic 1] 

MIQUEIAS VINICIUS LIMA DE ARAÚJO

APLICAÇÕES DE VETORES NA GEOMETRIA ANALÍTICA

CEDRO – CEARÁ

2016.1

---

MIQUÉIAS VINÍCIUS LIMA DE ARAÚJO

APLICAÇÕES DE VETORES NA GEOMETRIA ANALÍTICA

Trabalho apresentado ao Curso de Licenciatura em Matemática do Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia do Ceará (IFCE) campus de Cedro, como requisito parcial para a conclusão da disciplina Monografia.

Prof. Me. Marcos Macedo

CEDRO – CEARÁ

2016.1

INTRODUÇÃO

Este trabalho intensifica um estudo amplo sobre vetores, totalmente direcionado a esclarecer conceitos matemáticos que foram aperfeiçoados e que são utilizados nos dias de hoje na geometria analítica. Estes estudos vetoriais foram iniciados através de conhecimentos geométricos estabelecidos em um plano de sistemas de coordenadas, sobreposto em primeira, segunda e terceira dimensões, buscando uma melhor compreensão da geometria analítica de uma forma mais concreta.

Avaliando os estudos outrora falados, podemos tomar como alvo inicial as analogias geométricas em um plano cartesiano, que se devem aos grafitos dos matemáticos franceses René Descartes e Pierre de Fermat, que revolucionaram o campo da álgebra e da geometria, em meados do século XVII, fundindo-os em algo conhecido como geometria analítica, buscando sempre uma representação numérica das propriedades geométricas. Estes conceitos iniciais são retomados por grandes estudiosos matemáticos em torno do século XIX, com as exposições geométricas de números complexos. Gauss (1777-1855), Argand (1768-1822), dentre outros, foram responsáveis por idealizar os números complexos em plano de segunda dimensão, ou seja, através de Vetores bidimensionais.

Com o nascimento desses novos números, surgiram matemáticos que aperfeiçoaram estes estudos, relacionando-os a outros campos matemáticos. Gauss utilizou esses novos conceitos de números em 1799, para evidenciar e provar o Teorema Fundamental da Álgebra de uma forma, sobretudo geométrica, mas com uma pequena falha topológica, o que o levou a buscar melhores resultados sobre estes estudos durante os anos conseguintes. Mas, 1806, outro grande estudioso conhecido como Jean-Robert Argand fez uma demonstração bem minuciosa e detalhada sobre o teorema fundamental da Álgebra, evidenciando ainda mais este assunto, fazendo com que a álgebra viesse a ser enunciada não só em polinômios com coeficientes reais, mas em polinômios com coeficientes complexos. Em 1837, Rowan Hamilton (1805-1865) mostrou que os números complexos poderiam ser ponderados de uma forma abstrata por pares ordenados (x, y) de números reais. Conceito esse, que fez parte dos estudos de vários matemáticos, incluindo o próprio Hamilton, com o intuito de procurar uma maneira de estender os pares ordenados bidimensionais para tridimensionais, e dessa forma, houve a construção dos estudos vetoriais que trouxeram até os dias de hoje um conjunto de considerações matemáticas que expressam os estudos e aplicações analíticas.

As aplicações das considerações vetoriais foram instituídas através da exposição de estudos físicos como as Leis de Newton, com o movimento dos corpos, em que Newton conduziu de certa forma, seus esboços matemáticos para a necessidade de uma admissão de sistemas que viessem a descrever tais fenômenos, essa necessidade ampliou-se para o conceito de ondas, que também podem ser representados por vetores, bem como os estudos sobre eletricidade, nos permitindo ter uma noção matemática bem minuciosa de como o formalismo vetorial é necessário para se chegar a um crio científico de tais estudos físicos.

O desenvolvimento dos estudos sobre vetores facilita bastante nos dias de hoje o desenvolvimento da geometria analítica nas salas de aula, através de livros escolares. Explicada de uma forma mais simples, fazendo menções à definição e representação de formas geométricas de modo numérico e à extração de informação numérica dessa representação. A decorrência numérica também pode, no entanto, ser um vetor ou uma forma. O fato de que a álgebra dos números reais pode ser empregada para produzir resultados sobre o contínuo linear da geometria, que se baseia no axioma de Cantor-Dedekind, o qual indica a existência de uma correspondência um a um entre os números reais e os pontos de uma linha.

O presente trabalho tem como alvo explanar fatos históricos que estruturaram os estudos vetoriais de forma a expressar junto as aplicações analíticas, a importância do formalismo matemático, mostrando através da teoria e da prática a necessidade de vetores tanto no ensino básico, como no ensino superior. Desse modo, o trabalho será assim evidenciado, por 2 capítulos:

No 1º capítulo, são abordados fatos históricos que trazem a construção dos estudos vetoriais e, ao lado desses estudos, formulações que nos revelam os estudos remanescentes e propiciam novos fatos que ajudam a compreender melhor a geometria analítica. Já no 2º capítulo, será abordado de uma forma o tanto quanto aprofundada, alguns conceitos analíticos, de maneira que se possam apresentar aplicações vetoriais, ressaltando a importância do uso de vetores para diversas áreas pertinentes a geometria analítica.

---

1. BREVE CONTEXTO HISTÓRICO SOBRE VETORES

Segundo Venturi (2015), a história da matemática raramente apresenta eventos bombásticos. E as formulações, primeiramente leves e difusas, cursam um espinhoso caminho até alcançar a amplitude de seu desenvolvimento. Ele afirma que o conceito de vetor surgiu na Mecânica com o engenheiro flamengo Simon Stevin-o, considerado o Arquimedes holandês. Este engenheiro, por volta de 1586 apresentou em seus estudos sobre Estática e hidrostática, o problema da conciliação de forças e emitiu uma regra empírica para se achar a soma de duas forças sobrepostas num mesmo ponto. Tal princípio, conhecido como regra do paralelogramo.

Venturi (2015), também afirma que os vetores surgiram considerados como "linhas dirigidas" em uma obra publicada em 1797, por Wessel, matemático de origem dinamarquesa. Venturi (2015) assegura que a organização da teoria vetorial ocorreu rigorosamente no século XIX com os trabalhos do irlandês William Hamilton (de forma precoce, pois aos 5 anos já lia grego, latim e hebraico), do alemão Hermann Grassmann e do físico norte-americano Josiah Gibbs.

O uso de vetores e seus esboços metódicos ocorreram em meados do século XIX, como afirmado por Venturi (2015). E Tendo surgido nas primeiras décadas desse século, se evidenciou com as representações geométricas dos números complexos.