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Sobre o Produto Vetorial

O produto vetorial é uma ferramenta muito importante na Física e na Matemática Aplicada, pois através dela podemos calcular a área de um triângulo ou paralelogramo definido por dois vetores. O torque pode também ser definido através do produto vetorial.

Neste post, veremos a definição, as propriedades e algumas aplicações deste importante produto.

Definição 1: O produto vetorial dos vetores e , tomados nesta ordem e denotado por é definido por

Desta expressão vemos que o produto vetorial de dois vetores é um vetor. Para resolver o determinante podemos usar o método de Sarrus em que repete a primeira e a segunda coluna. Particularmente, eu prefiro usar o método de Laplace que consiste em transformar o determinante acima em determinantes , isto é,

Usando essa expressão, segue que , ou seja, o produto vetorial é um vetor mutuamente ortogonal aos vetores e .

Exemplo 1: Determine um vetor unitário e ortogonal ao plano definido pelos vetores , .

Resolução: Seja o vetor pedido. Usando o desenvolvimento de Laplace, temos:

Pelo comentário acima, este vetor é ortogonal ao plano definido pelos vetores e , mas

Para obter o vetor unitário , basta dividir pelo seu módulo, isto é,

As propriedades do produto vetorial decorrem diretamente das propriedades dos determinantes. Assim, se uma matriz de números reais, então:

O sinal de é alterado se permutarmos duas de suas linhas;

Se uma linha de é multiplicada por , então ;

Se existem duas linhas proporcionais, então ;

Se a -ésima linha da matriz é representada por uma soma, então o determinante pode ser escrito como a soma de dois determinantes em que a -ésima linha de cada um deles é formada pelas parcelas da soma.

Da propriedade , segue que ;

Da propriedade , obtemos ;

A propriedade , segue da propriedade ;

E a propriedade é consequência da propriedade .

Da primeira propriedade, vemos que existem apenas dois vetores unitários ortogonais ao plano formado pelos vetores e . É interessante notar que

e que

Para ver a interpretação geométrica do produto vetorial, usaremos a identidade de Lagrange, dada por

A demonstração de é clássica e basta desenvolver o membro esquerdo usando as expressões: