Atps de calculo2

Atps calculo 2 etapa 1 e 2

 

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Etapa 1

Passo 1

Conceito de velocidade instant�nea

A velocidade instant�nea �, portanto definida como o limite da rela��o entre o espa�o percorrido em um intervalo de tempo, onde este �ltimo tende a zero. Quando se considera um intervalo de tempo que n�o tende a 0, a velocidade � considerada m�dia. A velocidade instant�nea pode ser entendida como a velocidade de um corpo no exato instante escolhido. No movimento retil�neo uniforme, a velocidade instant�nea coincide com a m�dia em todos os instantes.

Para isso a varia��o do tempo tem que ser zero , o que s� pode ser calculado atravez de limite , tendendo a varia��o de tempo a zero , voc� cai numa derivada de primeira ordem;

Exemplo:

Sendo s(t)=t2+5, examinemos, em primeiro lugar, a velocidade m�dia no intervalo de tempo [2,2+Dt], com Dt >0 ou Dt 220 m�

Gr�fico da �rea da fun��o da velocidade:

Passo 3

Velocidade e Acelera��o

Acelera��o de um corpo m�vel, que define a acelera��o como sendo a derivada da fun��o velocidade.

Definimos a acelera��o como a taxa de varia��o da velocidade em rela��o ao tempo. Se v(t) � a velocidade de um objeto em um instante t, temos:

Acelera��o m�dia = v(t+h) � v(t)

h

Acelera��o instant�nea = v�(t) = lim v(t+h) � v(t) .

h→0 hResumindo, como a velocidade � a derivada da posi��o, a acelera��o � a derivada segunda da posi��o. Se y = s(t) � a posi��o de um objeto em um instante t, ent�o:

 Velocidade: v(t) = dy = s�(t)

dt

 Acelera��o: a(t) = d�y = s�(t) = v�(t)

d�t

Exemplo (utilizando o exemplo do caso acima):

f(x) = 8 x2 + 4x - 10

lim f (x+h) - f (x)

h→0 h

lim 8 (x+h)2 + 4x - 10 - (8 x2 + 4x -10)

h→0 h

lim 8 (x2+2xh+h2) + 4x - 10 - (8 x2 + 4x -10)

h→0 h

lim 8x2 + 16xh + 8h2 + 4x - 10 - 8x� - 4x +10

h→0 h

lim 16xh + 8h�

h→0 h

lim h (16x + 8h)

h→0 h

lim 16x + 8h

h→0

lim 16x

h→0

Para o intervalo de 0 a 5s:

f(x) = 16x

f(0) = 16 . (0) = 0

f(1) = 16 . (1) = 16

f(2) = 16 . (2) = 32

f(3) = 16 . (3) = 48

f(4) = 16 . (4) = 64

f(5) = 16 . (5) = 80

Passo 4

Grafico da fun��o a(m/s�) x t(s)

Etapa 2

Passo 1

A constante de Euler-Mascheroni � uma constante matem�tica com m�ltiplas utiliza��es em Teoria dos n�meros. Ela � definida como o limite da diferen�a entre a s�rie harm�nica e o logaritmo natural.

que pode ser condensada assim :

em que E(x) � a parte inteira de x.

A demonstra��o da exist�ncia de um tal limite pode ser feita pela aplica��o do m�todo da compara��os�rie-integral.

As aplica��es da constante incluem sua rela��o com a fun��o gama e a f�rmula da reflex�o de Euler, al�m da rela��o com a fun��o zeta de Riemann e com integrais e integra��es impr�prias da fun��o exponencial para determinados valores de

Valor aproximado

As 100 primeiras decimais dessa constante s�o

γ≈0,5772156649015328606065120900824024310421593359399235988057672348848677267776646709369470632917467495

Em 1781, Leonhard Euler obteve as 16 primeiras decimais gra�as ao m�todo de soma de Euler-Mac Laurin. Lorenzo Mascheroni determinou 32 decimais para a sua obra Geometria del compasso, que contribuiu a tornar conhecida a constante.

A constante foi definida pela primeira vez pelo matem�tico su��o Leonhard Euler no artigo De Progressionibus harmonicus observationes, publicado em 1735. Euler usou a nota��o C para a constante, e inicialmente calculou seu valor at� 6 casas decimais. Em 1761 Euler estendeu seus c�lculos, publicando um valor com 16 casas decimais. Em 1790 o matem�tico italiano Lorenzo Mascheroni introduziu a nota��o γ para a constante, e tentou estender o c�lculo de Euler ainda mais, a 32 casas decimais, apesar de c�lculos subseq�entes terem mostrado que ele cometera erros na 20�, 22� e 32 casas decimais. (Do 20� d�gito,Mascheroni calculou 1811209008239.)

N�o se sabe se a constante de Euler-Mascheroni � ou n�o um n�mero racional. No entanto, an�lises mostram que se γ for racional, seu denominador tem mais do que 10242080 d�gitos

Tabela dos c�lculos

n=��� 1

h

n=1 → 1=1 → 1h=1 → h=1 → h=1

h 1

e = lim (1+h)1/h → (1+1)1 → 2

h→0

n=5 → 5=1 → 5h=1 → h=1 →h=0,2

h 5

e = lim (1+h)1/h → (1+0,2)5 → 2,488

h→0

n=10 → 10=1 → 10h=1 → h=1 → h= 0,1

h 10

e = lim (1+h)1/h → (1+0,1)10 → 2,594

h→0

n=50 → 50=1 → 50h=1 → h=1 → h=0,02

h 50

e = lim (1+h)1/h → (1+0,02)50 → 2,691

h→0

n=100 → 100=1 → 100h=1 → h= 1 → h=0,01

h 100

e = lim (1+h)1/h → (1+0,01)100 → 2,705

h→0

n=500 → 500=1 → 500h=1 → h= 1 → h=0,002

h 500

e = lim (1+h)1/h → (1+0,002)500 → 2,716

h→0

n=1000 → 1000=1 → 1000h=1 → h= 1 → h=0,001

h1000

e = lim (1+h)1/h → (1+0,001)1000 → 2,717

h→0

n=5000 → 5000=1 → 5000h=1 → h= 1 → h= 0,0002

h 5000

e = lim (1+h)1/h → (1+0,0002)5000 → 2,718

h→0

n=10000 → 10000=1 → 10000h=1 → h= 1 → h=0,0001 h 10000

e = lim (1+h)1/h → (1+0,0001)10000 → 2,718

h→0

n= 100000 → 100000=1 → 100000h=1 → h= 1 → h=0,00001

h 100000

e = lim (1+h)1/h → (1+0,00001)100000 → 2,718