CONEXÃO DE CARTÕES DE MARLID À PESQUISA DE DERIVADOS

• 1. DERIVADASPROFESSORA: MARLEIDE COAN CARDOSOINTRODUÇÃO AO ESTUDO DAS DERIVADASO que significa a palavra derivada?Como calcular as derivadas?

• 2. Quais as aplicações das derivadas?Vamos pensar um pouquinho!!!!!Para os curiosos acesse ao vídeo no youtubehttp://www.youtube.com/watch?v=3g9ZmAPJNGs&feature=player_embeddedNo inicio da disciplina vimos que dependendo da altura que dobramos a folha ovolume da caixa se altera, agora vamos aprender que altura devemos dobrapara ter volume máximo. x xAs dimensões da folha são 29,7 cm e 21 cm.a) Qual deve ser a altura de x para que a caixa tenha volume máximo.b) Calcular o volume máximo da caixa.Outro problema:Como traçar a reta tangente a uma curva qualquer por um de seus pontos? Esse problema que desafiou os matemáticos por mais de dois mil anos,só foi solucionado com o auxílio da Geometria Analítica, por meio de estudosrealizados por Descartes, Newton, Leibniz, Fermat e outros matemáticos damesma época. Tais estudos resultaram em um dos mais importantes conceitosda matemática: a derivada de uma função em um ponto. A partir desseconceito pode-se definir precisamente a reta tangente a uma curva qualquerpor um de seus pontos. A derivada representa a inclinação de uma curva num ponto e pode serusada para obter a equação da reta tangente a uma curva num determinadoponto. É também utilizada para calcular taxas de variação. Nas aplicaçõespráticas, ela é aplicada em diversos ramos da Física, Engenharia, Economia eetc. A Derivada representa a taxa de variação de uma função contínuanum ponto.

• 3. Observando a taxa de crescimento de três funções:

• 4. DERIVADAS COMO TAXA DE VARIAÇÃO Suponha que uma partícula se move sobre uma linha reta de modo que,no final de t segundos, sua distância s em metros do ponto de partícula é dadapor s = 3t2 + t. Calcule a velocidade da partícula no instante em que t = 2segundos.t0 t t  t  t 0 f( t 0 ) f(t) s  f (t )  f (t 0 ) s t2 5 142 4 142 3 142 2,5 142 2,2 142 2.1 142 2,01 142 2,001 14

• 5. S = 3t2 +t ou s f (t  t )  f (t ) ds/dt = lim t  s 0 t = 6t + 1 Assim : ds = 6.2+1 = 13 m/s.Outros exemplos: 1) Calcule as derivadas abaixo utilizando a definição.a) f ( x)  x 3b) f ( x)  x 2  3x  1 1c) f (t )  3t  12) Encontre a inclinação da reta tangente à curva y  x 2  5x  6 no pontoP(1,2) .3) Qual o declive da reta t tangente ao gráfico de f(x) = x 2  1 no ponto deabscissa x = 2 ou seja no ponto ( 2,5). Represente esta situação graficamente.

• 6. DEFINIÇÃO: Dada uma função f, a função f ’ definida por: f ( x  x)  f ( x) y f ’(x) = dy/dx = lim  lim x 0 x x 0 xé chamada de derivada de f. O domínio da função derivada f ’ é o conjunto de todos os números x nodomínio de f para os quais o limite do quociente de diferença existe.Não esqueça que:Apenas admite derivada as funções contínuas. A notação de derivada foi criada por Isaac Newton e Leibniz no século sXVII. Newton usou o s para denotar a taxa de variação no tempo lim t 0 thoje escrevemos f ’(t) no tempo e f ’(x) para variável x. Leibniz idealizou y dyque o valor numérico da derivada é o limite de lim escrito como , isto x  0 x dxé, dy y  lim  f ( x)  y A notação f ’para derivada da função foi introduzida dx x 0 xpor Lagrange no século XVIII. f ’ para derivada da função e f ’(x) para derivadado número x. Também podemos dizer que a derivada é a variação da razãoincremental.A operação de calcular a derivada f ’ de uma função f é chamada diferenciação. f ( x  x)  f ( x) f ( x)  lim x 0 x Dizemos que uma função é derivável quando existe a derivada em todos ospontos de seu domínio. A função derivada mede a inclinação da curva numponto genérico de coordenadas (x,y). Outras notações podem ser usadas no lugar de y  f ( x) :1) Dx f (x) (lê-se derivada de f(x) em relação a x)2) Dx y (lê-se derivada de y em relação a x) dy3) (lê-se derivada de y em relação a x) dxExercícios1) Calcule a derivada da seguinte função, usando a definição: f ( x)  2  5x 2 .2) Determinar a equação da reta tangente à curva f ( x)  x 2  1 no ponto P(1,2)e esboce o gráfico.

• 7. 3) Calcule o coeficiente angular ou a inclinação da tangente ao gráfico dafunçãof ( x)  x 2  4 x  4 no ponto de abscissa 1.Regra Geral de Derivação Até agora vimos como calcular a derivada de uma função f(x), por meioda definição. Entretanto, como esse processo é longo, estudaremos algumasregras que nos permitirão calcular a derivada de uma função.1) Derivada de uma constante Se c é uma constante e f(x) = c para todo x, então f (x) = 0.Exemplos:a) f(x) = 5  f ’(x) = 0b) f(x) = -1/2  f ’(x) = 02) Regra da potência Se n é um número inteiro positivo e f(x) = xn, então f ’(x) = n . xn-1.Exemplos:a) f(x) = x5  f ’(x) = 5x4b) f(x) = x  f ’(x) = 1c) f(x) = x10  f ’(x) = 10x9Obs.: Se q  Q e f(x) = xq, então f ’(x) = q . xq-1Exemplos: 4 a) f(x) = x-4  f ’(x) = -4x-4-1  f ’(x) = -4x-5  f ( x)  x5 1 9 8 b) f ( x )  8  f ( x )  8 x  f ( x)  9 x x 1 c) f ( x)  x  ... f ( x)  2 x 2 2 d ) f ( x)  x 3  ... f ( x)  33 x 1 4 e) f ( x)   ... f ( x)  4 5 x 5 x5 x 43) Derivada do produto de uma constante por uma função Sejam f uma função, c uma constante e g a função definida por g(x) = c .f(x). Se f’(x) existe, então g’(x) = c . f ’(x).

• 8. Exemplos:a) f(x) = 8x2b) g(z) = -2z74) Derivada de uma soma Sejam f e g duas funções e h a função definida por h(x) = f(x) + g(x). Se f’(x) e g’(x) existem, então h’(x) = f ’(x) + g’(x).Exemplos:a) f(x) = 3x4 + 8x +5  f ’(x) = 12x3 + 8b) g(y) = 9y5 - 4y2 + 2y +7  g’(y) = 45y4 - 8y + 25) Derivada de um produto Sejam u e v funções e h a função definida por h = u.v. Se u’e v’existem,então h’(x) = uv’+u’v ou (uv)’=uv’+u’v.Exemplos:a) f(x) = ( 2x3 - 1 ) . ( x4 + x2 )b) f(x) = x3 . ( 2x2 - 3x )6) Derivada de um quociente Sejam u e v funções e h a função definida por: u h vSe u’e v’existem, então:

• 9. vuuv h( x)  v2 (v  0)ou  u  vuuv    2  v v (v  0)Exemplos: 2x  5a) f ( x)  4x x2b) f ( x )  x 17) Derivada da função composta y = uv então dy/dx = y’= v.uv-1.u’Exemplos:a) y = (x2 + 5x + 2)7b) y  3 6x 2  5x  16 - Derivadas das funções elementares1) Derivada da função exponencialf(x) = ax a>0 e a1 A função exponencial y = ax é derivável em todo ponto do seu domínio e xy’= a . lna .Em particular: Se y = ex então dy/dx = y’= ex.

• 10. Fórmulas