Calculo Numerico

Passo 1

Relatório 3

Solução Numérica de Sistemas de Equações Lineares

Parte 1

Com a analise linear pode-se resolver muitos problemas de engenharia.

Exemplo: determinação do potencial em redes elétricas, cálculo da tensão nas estruturas metálicas.

Na construção civil, cálculo da razão de escoamento num sistema hidráulico com derivações, previsão, etc. O problema matemático em todos estes casos se reduz ao problema de resolver um sistema de equações simultâneas. Também as encontramos, quando estudamos métodos numéricos para resolver problemas de equações diferenciais parciais, pois estes requerem a solução de um conjunto de equações.

A solução de um conjunto de equações é muito mais difícil quando as equações não são lineares.

A maioria das aplicações envolve somente equações lineares, mas quando o sistema é de grande proporção devemos escolher o método numérico adequadamente para preservar a máxima precisão.

Existem dois tipos de métodos numéricos para solução de sistemas de equações lineares são eles:

Métodos Exatos: são aqueles que forneceriam solução exata, se não fossem os erros de arredondamento, com numero finito de operações.

Métodos Iterativos: são aqueles que permitem obter a solução de um sistema com uma dada precisão através de um processo infinito convergente. Assim, os métodos exatos em princípio, ou seja, desprezando os erros de arredondamento, produzirão uma solução, em um número finito de operações aritméticas. O método iterativo requer um número infinito de operações aritméticas para produzir a solução exata. Assim, o método iterativo tem um erro de truncamento e o exato não tem.

Em grandes sistemas os erros de arredondamento de um método exato podem tornar a solução sem significado, enquanto que nos métodos iterativos os erros de arredondamento não se acumulam.

Uma maneira de se obter a solução de um sistema linear através de métodos numéricos é transformação em outro equivalente cuja solução seja facilmente obtida.

Em geral, nos métodos exatos, transformamos o sistema original num sistema equivalente, cuja solução é obtida resolvendo-se sistemas triangulares.

Há vários ícones Dentre os dois métodos de solução numérica de equação linear, “Solução de Sistemas Lineares pelo método Exatos, e Solução de Sistemas Lineares pelo método Iterativos”.

Solução de Sistemas Lineares: Métodos Exatos.

Decomposição LU.

Método de Eliminação de Gauss.

Método de Gauss-Compacto.

Método de Cholesky..

Método de Eliminação de Gauss com Pivotamento Parcial.

Refinamento da Solução.

Cálculo da Matriz Inversa.

Solução de Sistemas Lineares: Métodos Interativos.

Processos Estacionários.

Método de Jacobi-Richardson.

Método de Gauss-Seidel.

Processos de Relaxação.

Princípios Básicos do Processo de Relaxação.

Método dos Gradientes.

Método dos Gradientes Conjugados.

Passo 2

i₁ + i₂ + ₃ = 0

10i₁ - 8 i₂ = 65

8i₁ - 3i ₃ = 120

[■(1&1&1@10&-8&0@8&0&-3)] [■(1&0&0@0&1&0@0&0&1)] ■(0@65@120) ■( L₂ - 10 * L₁@L₃ - 8 * L₁)

[■(1&1&1@0&-18&-10@0&-8&-11)] [■(1 &0&0@-10&1&0@-8&0&1)] ■(0@65@120) L₂/-18

[■(1&1&1@0&1&10/18@0&-8&-11)] [■(1&0&0@10/18&1/-18&0@0&0&1)] ■(0@-65/18@120) ■(L₁ - L₂@ L₃ - 8 * L₂)

[█(1 1 4/9@ 0 1 10/18@ 0 0 -59/9)] [■(14/9&1/18&0@10/18&1/-18&0@—32/9&-4/9&1)] ■( 65/18@-65/18@ 820/9 ) L₃/ -59/9

[■(1&0&4/9@0&1&10/18@0&0&1)] [■(14/9&1/18&0@-10/18&1/-18&0@16/29&4/59&-9/59)] ■(65/18@-65/18@-820/9 ) ■(L₁ -4/9 * L₃@L₂- 10/18 * L₃)

[█(1 0 0@0 1 0@0 0 1 )] [■(1&91/1062&4/59@0&-11/118&5/59@16/29&4/59&-9/59)] ■(1155/118@485/118@-820/9)

Determinante

9,79 4,11 -13,9

97,9 -32,88 0

-35,8 78,32 0 41,7 -13,42

0 9,79 4,11 -13,9 0

16,8 97,9 -32,88 0 0

Determinante = -65,92

Passo 3

I – falsa

II - falsa

III - verdadeira

Etapa 4

Passo 1

Métodos numéricos para resolver sistemas linear expostas na forma equivalentemente, ou seja, o numero de equações e igual a de incógnitas.

Métodos Diretos

São métodos que produzem a solução exata de um sistema, a menos de erros de arredondamento, depois de um número finito de operações aritméticas. Com esses métodos é possível determinar, a priori, o tempo máximo gasto para resolver um sistema, uma vez que sua complexidade