Campo Eletrico

Vers˜ao beta

Problemas e Soluc¸ ˜oes

em Eletrost´atica

A C Tort

Esta p´agina est´a intencionalmente em branco.

1

PROBLEMAS E SOLUC¸ ˜O ES

EM ELETROST´A TICA

vers˜ao beta

A C Tort 1

Instituto de F´ısica

Universidade Federal do Rio de Janeiro

Caixa Postal 68.528; CEP 21941-972 Rio de Janeiro, Brazil

23 de Dezembro de 2009

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Conte ´udo

Introduc¸ ˜ao 3

1 Lei de Coulomb 4

2 Campo El´etrico 13

3 Lei de Gauss 37

4 Potencial El´etrico 55

5 Energia Eletrost´atica; Capacitores 68

6 Movimento de part´ıculas carregadas em campo el´etrico prescrito 79

7 Problemas adicionais 87

Constantes f´ısicas selecionadas 124

2

Introduc¸ ˜ao

Os problemas foram mais ou menos agrupados por assunto.

3

Cap´ıtulo 1

Lei de Coulomb

PROBLEMA 1.1 Uma certa carga Q deve ser dividida em duas partes q1 = Q − q e q2 = q.

As cargas q1 e q2 s˜ao fixas e separadas por uma distˆancia d. Mostre que a magnitude da forc¸a

entre as cargas pode ser escrita na forma:

F (x) =

Q2

4πǫ0 d2 (1 − x) x,

onde x = q/Q e 0 ≤ x ≤ 1. Para que valores de x a forc¸a ´e nula? Para que valores de x a forc¸a

´e m´axima?

SOLUC¸ ˜AO 1. 1 :

A intensidade da forc¸a repulsiva entre as duas cargas ´e uma func¸ ˜ao de q ′ e se escreve:

F (q ′) =

1

4πǫ0

q ′ (q − q ′)

r2 .

A condic¸ ˜ao necess´aria para que a repuls˜ao seja m´axima ´e dada por:

d F(q ′)

d q ′ = 0.

Segue ent˜ao facilmente que:

q ′ =

q

2

.

O leitor poder´a mostrar facilmente que:

4

Cap´ıtulo 1 Lei de Coulomb 5

d2 F( ′)

d q ′ 2 = −2,

logo, q ′ = q/2 ´e um ponto de m´aximo da func¸ ˜ao F(q ′).

PROBLEMA 1.2 Considere o arranjo formado

pelas trˆes cargas puntiformes q, κq (κ >

0) e q0 mostrados na figura abaixo. As cargas q

e κq s˜ao fixas, mas q0 pode mover-se sobre o semic

´ırculo de raio a. Determine em func¸ ˜ao dos

dados do problema o valor do ˆangulo α para o

qual a carga q0 permanece em equil´ıbrio e calcule

o valor num´erico de α para κ = 8. q

q0

a

α

κq

b

SOLUC¸ ˜AO 1. 2 :

(a) A forc¸a de v´ınculo – a forc¸a que o fio exerce sobre a carga – ´e perpendicular ao fio. Para

que a carga q0 fique em equil´ıbrio F1 + F2 + FV = 0. Da geometria do triˆangulo retˆangulo

em cujos v´ertices est˜ao as cargas segue que:

2β + π − α = π, ⇒ β =

α

2

,

e

2γ + α = π ⇒ γ =

π − α

2

.

As projec¸ ˜oes de F1 e F2 sobre plano tangente  devem cancelar-se mutuamente:

F1 cos

π

2 − β



= F2 cos β.

Ou ainda:

q0 κq

4πǫ0 y2

sen

α

2

=

q0 q

x2 cos

α

2