Circuitos R-L E R-C

1°) CIRCUITO R – L ( RESISTOR – INDUTOR )

L.di/dt+Ri=E(t)

A solução da equação diferencial acima será a função i(t).

Considere i^'=di/dt , logo

Li’ + Ri = E(t)

L/L i^'+R/L i=E(t)

i’ + R/█(L) .i = E(t)/L

A solução geral da equação segue a solução da equação diferencial linear que é da forma:

y = 1/e^(∫p(t)dt) . ∫ e^(∫p(t)dt)∙q(t)dt (1)

Vamos resolver ∫p(t).dt, onde p(t)=R/L.

∫▒〖R/L .dt〗=R/L .∫▒1dt=R/L .t (2)

Substituindo (2) em (1), temos:

i(t)=1/e^((R/L).t) ∫▒〖e^((R.t)/L) .E(t)/L.dt〗= 1/L.(E(t))/e^((R/L).t) .∫▒〖e^((R.t)/L) dt〗 (3)

Onde q(t)=E(t)/L.

Considerando:

R/L.t=u → R/L.dt=du

dt=(L.du)/(R ) (4)

Substituindo (4) em (3), temos:

i(t)=1/L.(E(t))/e^((R/L).t) ∫▒〖〖L/R e〗^u.du〗

i(t)=L/LR.(E(t))/e^((R/L).t) .(e^u+K) (5)

Substituindo R/L.t=U em (5), teremos a solução geral para a equação diferencial do circuito R-L.

i(t)=1/R.(E(t))/e^((R/L).t) (e^((R.t)/L)+ K)

2°) CIRCUITO R – C ( RESISTOR – CAPACITOR )

R.dq/dt+1/c.q=E(t)

A solução da equação diferencial acima será a função q(t).

Considere dq/dt=q', logo

R/R q^'+1/RC q=E(t)/R

q’ + 1/RC q=E(t)/R

A solução geral da equação segue a solução da equação diferencial linear que é da forma:

y = 1/e^(∫p(t)dx) . ∫ e^(∫p(t)dx) .q^(x)dx (1)

Vamos resolver ∫p(t)dt, onde p(t)=1/RC.

∫▒1/RC .dt = 1/RC ∫▒1.dt=t/RC (2)

Substituindo (2) em (1), temos:

q(t)=1/e^(t/RC) ∫▒〖e^(t/RC) .E(t)/R.dt〗= 1/R.(E(t))/e^(t/RC) .∫▒〖e^(t/RC) dt〗 (3)

onde q(t)=E(t)/R.

Considerando:

t/RC=u → dt/RC=du

dt=RC∙du (4)

Substituindo (4) em (3), temos:

q(t)=1/R.(E(t))/e^(t/RC) .∫▒〖RCe^u du〗

q(t)=1/R.(E(t))/e^(t/RC) .RC∫▒〖e^u du〗

q(t)=(E(t)∙C)/e^(t/RC) (e^u+K) (5)

Substituindo t/RC=u em (5), teremos a solução geral para a equação diferencial do