Cálculo Vetorial

CÁLCULO VETORIAL GRADIENTE

No cálculo vetorial o gradiente (ou vetor gradiente) é um vetor que indica o sentido e a direção na qual, por deslocamento a partir do ponto especificado, obtém-se o maior incremento possível no valor de uma grandeza a partir da qual se define um campo escalar para o espaço em consideração. Constrói-se assim, a partir do campo escalar e de um operador denominado operador gradiente, um campo vetorial, que atrela a cada ponto do espaço o correspondente vetor gradiente para a grandeza em consideração.

O módulo do vetor gradiente indica a taxa de variação da grandeza escalar com relação à distância movida quando desloca-se na direção e sentido do vetor gradiente (deslocamentos infinitesimais).

O campo vetorial e o operador gradiente possuem diversas aplicações em matemática e ciências naturais, indo desde o cálculo de derivadas direcionais à maximização das mesmas. A exemplo, a partir do gradiente do potencial elétrico determina-se o campo elétrico; e a partir do gradiente da energia potencial determina-se o campo de força associado.

Os gradientes de tensão em redes elétricas são depois dos transientes, os maiores causadores de danos em circuitos eletro-eletrônicos.

O retorno da energia elétrica numa linha de transmissão longa, após uma interrupção da mesma, faz-se acompanhar por transientes de tensão elevada até à estabilização do circuito. Simultaneamente, manifesta-se na rede um movimento oscilatório de baixa freqüência, composto por gradientes positivos e negativos, denominados harmônicos, que fazem elevar e reduzir a tensão, acima e abaixo do seu valor nominal.

Para todo campo escalar diferenciável em função do espaço cartesiano temos que:

O gradiente é a derivada de um campo em função do espaço:

Em uma só dimensão o gradiente de uma função que só depende do espaço:

Exemplos:

• Calcule o gradiente de f para as seguintes funções:

•

Solução:

Derivando em relação a x e em relação a y temos:

Para isso iremos considerar e dessa forma substituindo temos:

Dessa forma o gradiente da função fica:

•

Solução:

Consideramos novamente o , e resolvendo temos:

Dessa forma a solução do gradiente da função é:

• Determine a derivada direcional, da função no ponto na direção do vetor .

Solução:

1º Modo

2º Modo

Temos que:

Aplicando a regra da cadeia obtemos:

CÁLCULO DIVERGENTE E ROTACIONAL

Campos Vetoriais

Dada uma região D do espaço, podemos associar a cada ponto de D uma grandeza escalar (temperatura, pressão, densidade, distância, ...) ou uma grandeza vetorial ( força velocidade, aceleração posição, deslocamento, ...). Dizemos, então, que está definido sobre D um campo escalar ou um campo vetorial, respectivamente. Geralmente identificamos um campo escalar ou vetorial com a função escalar ou vetorial que o define.

Definição:

Seja f uma função escalar definida em um a região D do espaço-2D ou espaço-3D . A região D juntamente com as grandezas escalares, imagem de cada ponto de D pela f, é chamada um campo escalar. Dizemos também, que f define um campo escalar sobre D.

Exemplos:

• Se D é um sólido no espaço e d é a densidade em cada ponto (x, y, z) de D , d define um campo escalar em D.

• Uma piscina P na forma de um paralelepípedo com base quadrangular de lado medindo 3m e de altura medindo 1.8m esta cheia. Cada partícula da água em P está sujeita a uma pressão que é proporcional à distância desta partícula até a superfície da água. Desta forma, definimos uma função escalar p da água de P em IR obtendo, conseqüentemente, um campo escalar. Como exercício, usando coordenadas cartesianas escreva a função p e caracterize seu domínio.

• D é uma chapa metálica na forma de círculo com raio r cuja temperatura em cada um de seus pontos é inversamente proporcional à uma unidade somada com sua distância até o centro do círculo. Isto define uma função escalar T (que associa a cada ponto da chapa a sua temperatura) e um campo escalar. Escreva a função T e o seu domínio.

Definição:

Seja F uma função vetorial definida de uma região D do espaço-2D ou espaço-3D no próprio espaço. A região D juntamente com as grandezas vetoriais, imagem de cada ponto de D pela F, é chamada um campo vetorial. Dizemos também, que F define um campo vetorial sobre D.

Exemplos:

• Consideremos a função vetorial V que associa a cada ponto da atmosfera terrestre D a velocidade do vento neste ponto. V define um campo vetorial em D, chamado campo de velocidade.

• Consideremos D como o espaço ocupado pela água em um riacho. A função que associa a velocidade de cada partícula de D em certo instante, também define um campo de velocidade em D.

• A partir da Lei da Gravitação universal de Newton a terra exerce uma força de atração para o seu centro sobre qualquer corpo em sua atmosfera. A função que associa essa força a cada ponto da atmosfera D define um campo vetorial em D chamado campo de força. No caso, esse campo de força é o famoso campo gravitacional da terra.

Representação gráfica de campos vetoriais.

A função vetorial dada por F(x, y) = ( M(x,y), N(x, y) ) define um campo vetorial no espaço-2D.