Defina o conceito de base de uma espaço vetorial

Problema 1. Defina o conceito de base de uma espaço vetorial.

O subconjunto B⊂E, será uma base do espaço vetorial E se B for L.I. e B gerar E. Ou seja, quando qualquer vetor u∈E puder ser escrito como combinação linear dos elementos da base, e quando os elementos da base não forem combinações lineares um do outro.

Problema 2. Defina o conceito de transformação linear entre espaços vetoriais.

Transformação linear é uma função cujo domínio está em um espaço linear e cujos resultados estão em outro espaço linear. Considerando A o espaço do domínio e B o espaço dos valores, temos a representação simbólica de uma transformação T: BAT →:

A transformação T para ser linear tem que satisfazer as seguintes propriedades:

Problema 3. Encontre uma base para cada um dos espaços abaixo e determine sua dimensão. Prove que o conjunto dado como resposta é realmente uma base do espaço.

a) E = nℜ; Uma base para nℜ é a base canônica;

B = {1e,2e, ,ne}

1e = (1,0,...,0), 2e= (0,1,...,0), , ne = (0,0,...,1)

O subconjunto B⊂E, será uma base do espaço vetorial E, se B gera E e B for L.I.

Primeiro vamos provar que B gera E: Para B gerar E, qualquer vetor u∈E será combinação linear dos vetores da base. Logo;

(1α,2α,...,nα) = 1α1e + 2α2e + + nαne

(1α,2α,...,nα) = 1α(1,0,...,0) + 2α(0,1,...,0) + + nα(0,0,...,1)

(1α,2α,...,nα) = (1α,0,...,0) + (0,2α,...,0) + + (0,0,...,nα)

1β1e + 2β2e + + nβne = θ

Vamos provar que B é L.I. 2

(1β,0,...,0) + (0,2β,...,0) + + (0,0,...,nβ) = θ

1β(1,0,...,0) +2β(0,1,...,0) + ... +nβ(0,0,...,1) = θ

(1β,2β,...,nβ) = θ Temos então que;

1β = 2β = = nβ = 0

logo B é L.I.

Portanto B é base para o espaço E, e a dimensão de E é n.

b) F = {polinômios pares de grau ≤10};

Provando que B é base de F.

B tem que gerar F; De fato; Sendo u∈F;

B tem que ser L.I; Fazendo;

Com isto B é base para F e a dimensão de F é 6.

c) G = {polinômios impares de grau ≤10};

Provando que B é base de G. B tem que gerar G; De fato; Sendo u∈G;

B tem que ser L.I.; De fato; Fazendo;

Com isto provamos que B é uma base para