Espaço Vetorial - Calculo Numerico

Espaco Vetorial ( calculo numerico )

Seja E um conjunto e seja K um corpo. Suponhamos que em E esteja definida uma operacao de adicao: (x,y) ∈ E ×E → x+y ∈ E , e que esteja definida uma operacao entre os elementos de K e os elementos de E (chamada multiplicacao por escalar): (α,x) ∈ K ×E → αx ∈ E .

Entao E e um K-espaco vetorial, em relacao a essas operacoes, se as seguintes condicoes estiverem

O leitor devera lembrar-se sempre de que, na definicao acima, nao se especifica nem a natureza dos vetores nem das operacoes. Assim qualquer conjunto que satisfaca as oito condicoes acima especificada sera um espaco vetorial.

α1 v1 + α2 v2 + + αk vk = 0 .

Observamos que essa relacao e sempre valida se os αi, i = 1,2,...,k sao todos iguais a zero. Nesse caso dizemos que os vetores sao linearmente independentes.

Definicao 1.2 - Um K-espaco vetorial tem dimensao n se: a) existem n vetores linearmente independentes; b) (n + 1) vetores sao sempre linearmente dependentes.

Definicao 1.3 - Qualquer conjunto de n vetores linearmente independentes e chamado base de um K-espaco vetorial de dimensao n.

Assim, qualquer vetor do espaco pode ser representado como combinacao linear dos vetores da base.

Mudanca de Base

CAPITULO 1. CONCEITOS BASICOS 3

Estudaremos inicialmente mudanca de base em um espaco vetorial bi-dimensional, e a seguir, em um espaco de dimensao n.

Entao v se exprime de maneira unica como combinacao linear dos elementos de B1, isto e, existem escalares v1,v2 (elementos de K) tais que:

(onde os escalares v1,v2 sao as coordenadas de v na base B1).

Seja B′1 = {e′1,e′2}, como mostrado na Figura 1.1, uma outra base de E. Analogamente, podemos escrever:

Desejamos saber como, dadas as coordenadas de v na base B1 (aqui denominada base antiga), poderemos determinar as coordenadas de v na base B′1 (aqui denominada base nova). Sendo e′1,e′ 2 elementos de E podemos, em particular, escrever cada um deles como combinacao linear dos elementos

isto e, cada vetor da base nova se exprime de maneira unica como combinacao linear dos vetores da base antiga. Assim, em virtude de (1.1), (1.2) e (1.3) temos:

Como as coordenadas de um vetor em relacao a uma determinada base sao unicas, podemos igualar

CAPITULO 1. CONCEITOS BASICOS 4 ou na forma matricial: ( v1

O sistema (1.4), possui sempre uma e uma so solucao v′1,v′2, pelo fato de B1 e B′1 serem bases de E. Entao, conhecidas, na base antiga, as coordenadas v1,v2 de v e as coordenadas de cada um dos vetores e′1,e′2, na base antiga, podemos determinar as coordenadas v′1,v′2 de v na base nova usando