Derivados de funções exponenciais e logarítmicas

oETAPA 3 (tempo para realização: 5 horas )

Aula-tema: Regra da Cadeia, Derivadas de Funções Exponenciais e Logarítmicas, Derivadas Trigonométricas, Aplicações de Derivadas.

Esta atividade é importante para que você possa verificar a aplicação da derivada inserida em situações do cotidiano. No campo da engenharia, muitas são as situações em que a aplicação da derivada para soluções de problemas que se fazem presentes. O domínio das regras básicas e de níveis mais avançados é necessário.

Para realizá-la, devem ser seguidos os passos descritos.

PASSOS

Passo 1 (Equipe)

Criar um nome e slogan para a empresa de consultoria e assessoramento em engenharia que você e sua equipe decidem abrir. A empresa “Soy Oil”, desejando inovar, na apresentação de sua nova linha de óleo para cozinha, contrata vocês para criarem uma nova embalagem da lata, a qual deverá armazenar o produto. Depois de muito pensarem, vocês decidiram que a lata deverá ser construída de forma que seja um cilindro circular reto de volume máximo que possa ser inscrito em uma esfera de diâmetro D = 1*cm, onde D é uma dezena do intervalo [10, 19], em que o algarismo da unidade (*) é dado pelo maior algarismo dos algarismos que compõe os RA’s dos alunos do seu grupo; Exemplo: Se o grupo é uma dupla com os seguintes RA’s 100456012 e 1000032467, observa-se que o maior algarismo presente nos RA’s é o 7, portanto deve-se usar D = 17. Lembre-se que D =2.R

Com base nessas informações e admitindo que 1 litro = 1 dm3, utilizando a regra do produto para derivação, calcular qual será a altura máxima da lata e qual é o volume de óleo que ela comporta. Observar a figura abaixo. Notar que a altura da lata (H) é igual a soma de h + h, ou seja: H = 2h

Resposta: O maior algarismo dos RA’s (6814015297, 6248222454, 7021501206, 6238205813, e 7021517307) é 9. Então  D= 19

Achando o diâmetro.

D = 2 * R

19 = 2R

Achando o Raio

R = D/2

R = 19/2

R = 9,5 cm

Achando a área de circunferência.

AC = ∏ * r²

AC = ∏ * 9,5² cm²

AC = 283,3 cm²

Achando o volume.

V = a * h

V = 283,3 cm² * 22,6 cm

V = 6.402,58 cm³

V = 6.402,58 cm³ / 1000  6,4 dm²

Passo 2 (Equipe)

Fazer um layout com escala, representando a lata de óleo do passo 1 e criar um protótipo em tamanho real. Fazer um relatório justificando de forma positiva a utilização dessa nova embalagem, que deverá ser apresentada a diretoria da empresa “Soy Oil”.

Relatorio.

Este recipiente cilíndrico tem uma base maior podendo facilitar na hora de ser guardado e de ser transportado. A utilização positiva dessa nova embalagem tem a melhor.em todas as cozinhas esta embalagem e a mais segura com seu conteúdo para ser usado de forma mais segura em todao tempo

Passo 3 (EquipeAnalisar o texto abaixo e responder a pergunta:

A empresa “Soy Oil” adquiriu uma nova máquina para evasão do óleo dentro das latas que serão comercializadas. O bico da envasadura é em formato de uma pirâmide hexagonal regular invertida, com 50 cm de altura e de aresta da base de 10 cm. O óleo escoa por meio de uma pequena abertura no bico da

pirâmide, após a pirâmide atingir seu volume máximo. Sabendo que o óleo flui no bico a uma taxa de 3 cm3/s. Com que velocidade o nível do óleo estará se elevando quando atingir 20 cm de altura?

Resposta:

3 cm/s = 50 cm ÷ x

3 cm/s .x = 50 cm

50 cm ÷ 3cm/s = 16,6s

V = 50 cm – 20 cm ÷ 17s – 6,64 s

V = 30 cm = v = 2,89 cm/s

10,36s

Passo 4 (Equipe)

Calcular qual é o volume máximo de óleo que cabe no bico? Qual é avelocidade com que o nível do óleo estará se elevando quando atingir 45 cm de altura? Fazer um relatório com todos os cálculos realizados nos quatro passos da Etapa 3, para entregar ao seu professor.

Resposta:

a)

V = ab * h

3

V = 283,5 * 50 cm

3

V = 14175 cm³

3

V = 4725 cm³

b)

3 cm/s = 50 cm ÷ x

3 cm/s .x = 50 cm

50 cm ÷ 3cm/s = 16,6s

V = 50 cm – 45 cm ÷ 17s – 6,64 s

V = 30 cm = v = 2,89 cm/s

10,36s

ETAPA 4 (tempo para realização: 5 horas )

Aula-tema: Aplicações das Derivadas e Exemplos da Indústria, do Comércio e da Economia.

Esta atividade é importante para que você possa verificar a aplicação da derivada inserida em situações do cotidiano aplicadas a Indústria, Comércio e Economia. Há uma idéia errônea de que o uso da derivada é limitado ao campo da engenharia. Economistas e administradores também lançam mão das regras da derivação para análise das funções marginais para tomada de decisões.

Para realizá-la,

devem ser seguidos os passos descritos.

PASSOS

Passo 1 (Aluno)

Construir uma tabela com base nas funções abaixo.

Se ao analisar a situação da empresa “Soy Oil”, sua equipe concluir que a Função Preço e a Função Custo em relação as quantidades produzidas de 1000 unidades, são dadas respectivamente por: e , em que a representa a soma dos últimos 3 números dos RAs dos alunos que participam do grupo, observando o seguinte arredondamento: Caso a soma dê resultado variando entre [1000 e 1500[, utilizar a = 1000; Caso a soma dê resultado variando entre [1500 e 2000[, utilizar a = 1500; Caso a soma dê resultado variando entre [2000 e 2500], utilizar a = 2000; e assim sucessivamente.

Construir uma tabela para a função Custo e uma tabela para a função Receita em milhares de reais em função da quantidade e plotando num mesmo gráfico.

Resposta: Utilizando os três últimos números dos RA’s (297,454, 206,813,e 307) do grupo, encontramos o numero 2077.

Tabela: Função de Preço

Função de Preço

(q) P(q)= -0,1q + a P

2.000 P(2000)= -0,1*2000+2000 R$ 1.800

4.000 P(4000)= -0,1*4000+2000 R$ 1.600

6.000 P(8000)= -0,1*6000+2000 R$ 1.400

8.000 P(10000)=-0,1*8000+2000 R$ 1.200

10.000 P(12000)=-0,1*10000+2000 R$ 1.000

12.000 P(14000)=-0,1*12000+2000 R$ 800

Obs.: a = 2.000

Tabela: Função de Custo

Função de Custo

(q) C(q) = 0,002q3 - 0,6q2 +100q + a C

2.000 C(q) = 0,002* 2000^3 - 0,6*2000^2+100*2500 + 1000 R$ 13.851.000

4.000 C(q) = 0,002*4000^3 - 0,6*4000^2 +100*4000 + 1000 R$ 118.801.000

6.000 C(q) = 0,002*6000^3 - 0,6*6000^2 +100*6000 + 1000 R$ 411.001.000

8.000 C(q) = 0,002*8000^3 - 0,6*8000^2 +100*8000+ 1000 R$986.401.000

10.000 C(q) = 0,002*10000^3 -0,6*10000^2+100*10000+1000R$1.940.011.100

12.000 C(q) = 0,002*12000^3 -0,6*12000^2+100*12000=1000R$3.370.801.000

Obs.: a = 1.000 unidades

Passo 2 (Equipe)

Responder para qual intervalo de quantidades produzidas, tem-se R(q) > C(q)? Para qual quantidade produzida o Lucro será o máximo? Fazer todas as análises utilizando a primeira e a segunda derivada para justificar suas respostas, mostrando os pontos de lucros crescentes e decrescentes.

Resposta: R(q) será sempre maior que C(q), conforme o gráfico de “função de custo”. Quando maior for a produção, maior será o lucro.

Passo 3 (Equipe)