Equacao Diferencial
Trabalho Escolar: Equacao Diferencial. Pesquise 860.000+ trabalhos acadêmicosPor: • 25/11/2013 • 1.029 Palavras (5 Páginas) • 251 Visualizações
Destina-se o presente capítulo a apresentar o comportamento dos indutores e capacitores
como elementos essenciais da grande maioria dos circuitos elétricos e eletrônicos. Procuraremos dar
uma abordagem qualitativa desses elementos abordando os principais aspectos relativos ao
armazenamento de energia para em seguida apresentar as principais relações matemáticas que definem
o comportamento desses elementos e suas propriedades.
Veremos ainda o conceito de dualidade, a obtenção de circuitos duais, a obtenção das
equações íntegro-diferenciais, de malha e de nó dos circuitos contendo indutores.
4.2 O INDUTOR
O indutor é um elemento passivo capaz de armazenar e fornecer quantidades finitas de
energia. Ao contrário de uma fonte ideal, eles não podem fornecer quantidades ilimitadas de energia
ou manter o fornecimento de uma determinada potência média.
Vamos definir indutor e indutância estritamente do ponto de vista de circuitos, por sua relação
tensão-corrente.
Quando a corrente que atravessa um condutor varia, o fluxo magnético que o envolve também
varia. Esta variação de fluxo magnético ocasiona a indução de uma voltagem num circuito próximo ao
condutor. Esta voltagem induzida é proporcional à razão de variação da corrente geradora do campo
magnético com o tempo.
Essa constante de proporcionalidade é chamada indutância e é simbolizada pela letra
L
.
A relação é, portanto:
(4.1)
A unidade de indutância é Henry (
H
).
Figura 4.1 – O indutor ideal.
O indutor cuja indutância é definida pela expressão (4.1), é um modelo matemático; é um
elemento ideal que pode ser usado para aproximar o comportamento de um dispositivo real.
Fisicamente, um indutor pode ser construído enrolando-se um pedaço de fio na forma de bobina.
Um indutor, ou bobina, com a forma de hélice de passo muito pequeno, possui uma
indutância, em Henry (H) dada por,
(
(
(
()
)
)
)
(
(
(
()
)
)
)
di t
vt L
dt
=
=
=
=
v(t)
i(t)
L
+
-
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(4.2)
Onde, A = área da seção reta;
N = número de espiras;
l = comprimento da hélice;
μ = permeabilidade magnética do material que está dentro da hélice.
Para o ar μ = μ
0
= 4
π
x 10
-7
H/m.
A equação (4.1) nos mostra que a tensão no indutor só existe se houver variação da corrente
através do indutor. De modo mais objetivo ela nos mostra que não há tensão num indutor em que
exista apenas uma corrente constante, independentemente da magnitude dessa corrente.
Logo o
indutor é um curto-circuito para corrente contínua
.
Um outro fato, evidenciado pela equação (4.1), é relacionado a uma variação infinita da
corrente no indutor, como, por exemplo, a corrente variando bruscamente de um valor a outro. A esta
descontinuidade de corrente deve estar associada uma voltagem infinita. Em outras palavras, se
desejarmos produzir uma variação brusca na corrente de um indutor, devemos aplicar uma voltagem
infinita. Como uma voltagem infinita de excitação não pode ser gerada por um dispositivo físico real,
não é possível variar bruscamente a corrente num indutor
.
A equação (4.1) também pode ser interpretada por métodos gráficos. Pela figura 4.2 podemos
verificar a tensão resultante sobre o indutor de 3H quando é aplicado sobre o mesmo a corrente i(t)
dada pelos gráficos:
a)
b)
2
NA
L
l
μ
μ
μ
μ
=
=
=
=
t(s)
-1 0 1 2 3 t(s)
1
i(t) (A)
-1
0
1 2
3
v(t) (V)
3
t(s)
-0,1 0 1 2 2,1 t(s)
1
i(t) (A)
2
v(t) (V)
30
-3
-30
2,1
-0,1
0
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c)
Figura 4.2 – Efeito de variação da corrente sobre um indutor de 3H.
4.3 RELAÇÃO PARA CORRENTE E ENERGIA NO INDUTOR
Da equação de definição do indutor podemos escrever:
Fazendo a integração de t
0
a t:
Para
t
0
= 0
-
:
(4.3)
A equação (4.3) nos fornece a corrente em função da voltagem e i(0
-
) pode ser considerada
como a corrente existente no indutor em t = 0
-
antes da aplicação da voltagem v(t).
Para um problema real, a seleção de t
0
= -
∞
assegura a não existência de corrente ou energia
inicial no indutor. Assim se i(t
0
) = i(-
∞
) = 0, então:
(4.4)
O fluxo magnético num indutor atravessado por uma corrente i(t) é dado por:
(4.5)
Vamos deter nossa atenção para potência e energia. A potência absorvida é dada pelo produto
tensão-corrente.
(4.6)
(
(
(
()
)
)
)
l
di v t dt
L
=⋅ ⋅
=⋅ ⋅
=⋅ ⋅
=⋅ ⋅
(
(
(
()
)
)
)
(
(
(
()
)
)
)
(
(
(
()
)
)
)
(
(
(
()
)
)
)(
(
(
()
)
)
)
(
(
(
()
)
)
)
00
0
it t
it t
t
0
t
l
di v t dt
L
l
it it vtdt
L
=
=
=
=
−=
−=
−=
−=
∫∫
∫∫
∫∫
∫∫
∫
∫
∫
∫
(
(
(
()
)
)
)
(
(
(
()
)
)
)
(
(
(
()
)
)
)
t
0
l
it i0 vt dt
L
−
−
−
−
−
−
−
−
=+ ⋅
=+ ⋅
=+ ⋅
=+ ⋅
∫
∫
∫
∫
(
(
(
()
)
)
)
(
(
(
()
)
)
)
t
l
it vtdt
L
−∞
−∞
−∞
−∞
=
=
=
=
∫
∫
∫
∫
(
(
(
()
)
)
)(
(
(
()
)
)
)
tLit Wb
φ=⋅
φ=⋅
φ=⋅
φ=⋅
(
(
(
()
)
)
)(
(
(
()
)
)
)(
(
(
()
)
)
)(
(
(
()
)
)
)
(
(
(
()
)
)
)
di t
p
tvtitLit W
dt
=⋅=⋅⋅
=⋅=⋅⋅
=⋅=⋅⋅
=⋅=⋅⋅
t(s)
-
∞
0
1
2
t(s)
1
i(t) (A)
2
v(t) (V)
∞
-0,1
0
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A energia
ω
L
recebida pela indutância é armazenada pelo campo magnético no intervalo de
tempo desejado.
Logo,
(4.7)
Considerando que em t
0
a energia seja zero:
(4.8)
Vamos agora fazer uma lista das principais características de um indutor e que resultam da sua
equação de definição.
1.
A voltagem num indutor é zero se a corrente que passa através dele for independente do
tempo. Uma indutância é, portanto, um curto-circuito para corrente contínua.
2.
Uma quantidade finita de energia pode ser armazenada num indutor, mesmo que a
voltagem na indutância seja zero, caso em que a corrente é constante.
3.
É impossível alterar instantaneamente, de um valor finito a corrente num indutor, pois
isto requer um valor infinito de voltagem.
4.
Um indutor ideal nunca dissipa energia, apenas armazena.
Exemplo:
Determine a corrente em um indutor de 5H se a tensão for de
(
(
(
()
)
)
)
2
30t , t 0
vt
0, t < 0
>
>
>
>
=
=
=
=
.
Determine também, a energia armazenada em
0 < t < 5s
.
Solução:
Como
(
(
(
()
)
)
)(
(
(
()
)
)
)
0
t
0
t
1
ivtdtit
L
=+
=+
=+
=+
∫
∫
∫
∫
e
L = 5H
,
3
t
23
0
1t
i 30t .dt 0 6 2t A
53
=+=×=
=+=×=
=+=×=
=+=×=
∫
∫
∫
∫
A potência é a
5
p v.i 60t
==
==
==
==
e a energia armazenada é, portanto,
5
6
5
5
0
0
t
w p.dt 60t .dt 60 156, 25kJ
6
== = =
== = =
== = =
== = =
∫∫
∫∫
∫∫
∫∫
(
(
(
()
)
)
)
(
(
(
()
)
)
)
00 0
tt it
tt it
di
p
dt L i dt L i di
dt
⋅= ⋅⋅= ⋅
⋅= ⋅⋅= ⋅
⋅= ⋅⋅= ⋅
⋅= ⋅⋅= ⋅
∫∫ ∫
∫∫ ∫
∫∫ ∫
∫∫ ∫
(
(
(
()
)
)
)(
(
(
()
)
)
)
(
(
(
()
)
)
)(
(
(
()
)
)
)
22
LL0 0
1
ttLitit J
2
ω−ω =⋅ −
ω−ω =⋅ −
ω−ω =⋅ −
ω−ω =⋅ −
(
(
(
()
)
)
)
(
(
(
()
)
)
)
2
L
1
tLit J
2
ω=⋅
ω=⋅
ω=⋅
ω=⋅
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Alternativamente, podemos obter a energia armazenada utilizando a Equação (4.7), dispondo
(
(
(
()
)
)
)
(
(
(
()
)
)
)
(
(
(
()
)
)
)
(
(
(
()
)
)
)
2
5
23
0
111
w L.i 5 L.i 0 5 2 5 0 156, 25kJ
222
=−=×−=
=−=×−=
=−=×−=
=−=×−=
como obtido anteriormente.
4.4 O CAPACITOR
O capacitor é também um elemento passivo capaz de armazenar e fornecer quantidades finitas
de energia.
Através da relação corrente-tensão podemos definir capacitor e capacitância como sendo:
(4.9)
Figura 4.3 – O capacitor ideal.
O capacitor, cuja capacitância é definida pela equação (4.9) é, novamente, o modelo
matemático de um dispositivo real. A construção do elemento físico é sugerida pelo símbolo do
capacitor do mesmo modo que o símbolo em hélice usado para o indutor representa o fio enrolado
desse elemento de circuito. Fisicamente um capacitor consiste de duas superfícies condutoras em que
cargas podem ser armazenadas e essas superfícies são separadas por uma resistividade bastante
elevada.
Um capacitor construído com duas placas condutoras em paralelo, com área A, separadas por
uma distância d, possui uma capacitância:
(4.10)
onde:
ε
= permissividade ou constante de isolação do material entre as placas.
(
(
(
()
)
)
)
dv
it C
dt
=
=
=
=
A
C
d
ε⋅
ε⋅
ε⋅
ε⋅
=
=
=
=
+
-
v(t)
i(t)
C
...