Equaçoes Diferencias

Em matemática e em particular na análise, uma equação diferencial ordinária (ou EDO) é uma equação que envolve as derivadas de uma função desconhecida de uma variável. Um exemplo simples de uma equação diferencial ordinária é

onde é uma função desconhecida, e a sua derivada.

Índice

[esconder]

• 1 Definição

• 2 Exemplos práticos

• 3 Equações diferenciais específicas

o 3.1 Equações diferenciais lineares

o 3.2 Outros casos

• 4 Solução de uma Equação Diferencial Ordinária

• 5 Métodos para resolução de EDO

• 6 Referências

• 7 Ver também

• 8 Ligações externas

Definição[editar]

Seja y uma função de x e que

denote as suas derivadas

.

Uma equação diferencial ordinária (EDO) é uma equação que envolve

.

A ordem de uma equação diferencial é a ordem da maior derivada na equação.

Uma solução de uma EDO é uma função y(x) cujas derivadas satisfazem a equação. Não está garantido que tal função exista, e caso exista, normalmente ela não é única.

Quanto à linearidade de uma equação diferencial ordinária de ordem n pode ser vista como uma função

, dizemos que a equação diferencial é linear se for linear em .1

Ao que se refere aos coeficientes, uma equação diferencial pode ter coeficientes constantes ou funções da variável independente.

Quando uma equação diferencial de ordem n tem a forma

é designada equação diferencial implícita, enquanto que a forma

é designada equação diferencial explícita.

Uma equação diferencial é autônoma se não depender de x, e homogênea se todos os termos da equação diferencial dependem exclusivamente de x.

Exemplos práticos[editar]

Equações diferenciais são usadas muito frequentemente para descrever processos nos quais a mudança de uma medida ou dimensão é causada pelo próprio processo.

Historicamente, as primeiras equações diferenciais foram as relativas à aceleração igual ou desigual, que Galileo Galilei pôde medir, ainda que com métodos geométricos.

Isaac Newton e Gottfried Leibniz introduziram o cálculo diferencial e, este último, as equações diferenciais como as conhecemos hoje.

Por exemplo na Física, a lei da vida média prevê que o número de átomos que se decompõem por unidade de tempo numa massa de átomos instáveis dependem do total N dos átomos existentes (aqui é necessário considerar-se que, por ser N um número muito grande, pode-se considerar sua variação contínua e determinística; no caso de N ser um número pequeno deve-se considerar sua variaçãodiscreta e estocástica, e o método mais adequado é outro).

Desta forma, a diminuição do número de átomos é proporcional ao total de átomos:

Pelo cálculo da função nesta equação diferencial, torna-se possível determinar o número total de átomos a cada momento no tempo.

Um outro exemplo simples é o oscilador inalterado harmónico com a equação diferencial

A função procurada aqui é a função , cuja segunda derivada em relação ao tempo advém das leis do movimento.

Equações diferenciais específicas[editar]

Equações diferenciais lineares[editar]

Ver artigo principal: Equação diferencial linear

Uma EDO é linear quando os termos envolvendo a função a ser determinada aparecem apenas de forma linear, ou seja, podemos escrever a EDO como

Esta